Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους! Με αφορμή το πρόσφατο θέμα ΤΟΥΤΟ

: Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG (7.17 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Το

είναι παραλληλόγραμμο με λόγο πλευρών $\dfrac{AB}{BC}=m$ .

Στις πλευρές

και

θεωρούμε αντιστοίχως τα

και

ώστε $\dfrac{DE}{BZ}=l$ . Αν οι BE,DZ

τέμνονται στο

τότε

Να εκφραστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )}$ ως συνάρτηση των και . Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 24, 2019 1:51 am
Καλημέρα σε όλους! Με αφορμή το πρόσφατο θέμα ΤΟΥΤΟ
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG
Το είναι παραλληλόγραμμο με λόγο πλευρών $\dfrac{AB}{BC}=m$ .

Στις πλευρές και θεωρούμε αντιστοίχως τα και ώστε $\dfrac{DE}{BZ}=l$ . Αν οι τέμνονται στο τότε

Να εκφραστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )}$ ως συνάρτηση των και . Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα σε όλους!

Θέτω BC=a, BZ=x,

οπότε

Η

τέμνει τη

στο

: Λόγοι παράγουν νέο λόγο.png (22.01 KiB) Προβλήθηκε 765 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{(PCD)}}{{(PHC)}} =\dfrac{PD}{PH}= \dfrac{{lx}}{{BH}}\\ \\ \dfrac{{(PBC)}}{{(PHC)}} = \dfrac{a}{{a + BH}} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{( \div )}$ $\boxed{\frac{{(PCD)}}{{(PBC)}} = \frac{{lx(a + BH)}}{{aBH}}}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle \frac{x}{{BH}} = \frac{{ma}}{{a + BH}} \Leftrightarrow BH = \frac{{ax}}{{ma - x}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\frac{{(PCD)}}{{(PBC)}} = ml}$

#3

Ας είναι $G\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ τα σημεία τομής της ευθείας

με τις $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA$ .

Έστω ακόμη σημείο

της

για το οποίο : BT = ED

.

Αν θέσω ακόμα , BZ = x

θα είναι : $BT = ED = lx\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = CD = mb$

Από την ομοιότητα των τριγώνων $PDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PBS$ έχω: $\boxed{\frac{{ZP}}{{PD}} = \frac{{ZS}}{{DC}} = \frac{{ZS}}{{mb}}}\,\,\,(1)$

: λόγοι παράγουν νέο λόγο.png (30.2 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Από το Θ. Μενελάου στο $\vartriangle AZD$ με διατέμνουσα $\overline {EPB}$ έχω και λόγω της (1)

.

$\boxed{\frac{{AB}}{{BZ}} \cdot \frac{{ZP}}{{PD}} \cdot \frac{{DE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \frac{{bm}}{{BZ}} \cdot \frac{{SZ}}{{bm}} \cdot \frac{{lx}}{{b - lx}} = 1 \Rightarrow \frac{{SZ}}{{BZ}} = \frac{{b - lx}}{{lx}} = \frac{{TC}}{{TB}}}\,\,(2)\,\,\,$

Που μας εξασφαλίζει : $SC//ZT\,\,\,\kappa \alpha \iota \boxed{\,\,BS = \frac{b}{l}}$

Μετά απ’ αυτά : $\boxed{\frac{{\left( {PDC} \right)}}{{\left( {PBC} \right)}} = \frac{{DG}}{{GB}} = \frac{{DC}}{{BS}} = \frac{{mb}}{{\frac{b}{l}}} = ml}$

Παρατήρηση :

Κατά την κίνηση του tο ανήκει σε σταθερή ευθεία

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 24, 2019 1:51 am
Καλημέρα σε όλους! Με αφορμή το πρόσφατο θέμα ΤΟΥΤΟ
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG
Το είναι παραλληλόγραμμο με λόγο πλευρών $\dfrac{AB}{BC}=m$ .

Στις πλευρές και θεωρούμε αντιστοίχως τα και ώστε $\dfrac{DE}{BZ}=l$ . Αν οι τέμνονται στο τότε

Να εκφραστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )}$ ως συνάρτηση των και . Ευχαριστώ , Γιώργος.

Ισχύει, $\dfrac{ \big(PDC\big) }{ \big(PBC\big) }= \dfrac{DN}{NB}$ κι έστω $EN \cap BC=Q,EC \cap BD=L$

Με CEVA στο τρίγωνο $EBC \Rightarrow \dfrac{BQ}{QC} . \dfrac{CL}{LE} . \dfrac{EP}{PB} =1 \Leftrightarrow \dfrac{BQ}{QC} . \dfrac{BC}{ED} . \dfrac{EP}{PB} =1 \Rightarrow \dfrac{BQ}{QC} = \dfrac{ED . PB}{BC . EP} (1)$

Με Μενέλαο στο $\triangle ABE$ και διατέμνουσα $ZPD \Rightarrow \dfrac{AZ}{ZB} . \dfrac{BP}{PE} . \dfrac{ED}{DA} =1 \Rightarrow \dfrac{BZ}{ZA}=\dfrac{ED . PB}{BC . EP} (2)$

Από Από $(1),(2) \Rightarrow \dfrac{BZ}{ZA}= \dfrac{BQ}{QC} \Rightarrow \dfrac{BZ}{BA}= \dfrac{BQ}{BC} \Rightarrow AB . BQ=BZ . BC \Rightarrow$ $BQ= \dfrac{BZ . BC}{AB}$

Τώρα, $\dfrac{DN}{NB} = \dfrac{ED}{BQ} = \dfrac{ED . AB}{BZ . BC} =ml$

: Λόγοι παράγουν νέο λόγο.png (19.96 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλησπέρα. Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη σας ευχαριστώ! Μία ακόμη προσέγγιση

: Λόγοι παράγουν νέο λόγο ΙΙ.PNG (7.76 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Φέρνω τα ύψη PN,PM

των εν..λόγω τριγώνων.Όπως στην (#8) ανάρτηση του δημοφιλούς θέματος Η εκ του Nagel.. βρίσκουμε

$\boxed{PN\cdot BZ=PM\cdot DE}$ . Απ' αυτή παίρνουμε $\dfrac{PN}{PM}=\dfrac{DE}{BZ}=l$ .

Συνεπώς έχουμε $\dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )}=\dfrac{DC\cdot PN}{BC\cdot PM}=\dfrac{AB}{BC}\cdot \dfrac{DE}{BZ}=ml$ . Φιλικά Γιώργος.

Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Μέλη σε σύνδεση