Διπλάσια χορδή

KARKAR · #1

: Η άλλη πλευρά.png (13.79 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

είναι

. Κύκλος που περνάει

από τα A,B

, τέμνει τις AD,AC

στα

αντίστοιχα , ώστε AS=3 ,AP=4

.

Δείξτε ότι : BP=2SP

.

#2

KARKAR έγραψε:Η άλλη πλευρά.pngΣτο παραλληλόγραμμο είναι . Κύκλος που περνάει

από τα , τέμνει τις στα αντίστοιχα , ώστε .

Δείξτε ότι : .

: Διπλάσια χορδή.png (31.49 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

Επειδή $A{B^2} + AS \cdot AD = AP \cdot AC \Rightarrow {x^2} = 40 - 24 = 16$ έχω x = 4

.

( γνωστή άσκηση υπάρχει και στο σχολικό κατεύθυνσης) Αλλά

$\vartriangle ABC \approx \vartriangle PSB$ και άρα $\boxed{\frac{{PB}}{{PS}} = \frac{{AC}}{{AB}} = 2 \Rightarrow PB = 2PS}$

Παρατήρηση :

: Διπλάσια χορδή_Λήμμα.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 826 φορές

Από το θεώρημα της προβολής διανύσματος σε διάνυσμα:

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} \cdot (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )$ Δηλαδή:

${\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {AC}$

Και αφού τα διανύσματα είναι ομόρροπα ισχύει η σχέση και για τα μέτρα τους .

#3

KARKAR έγραψε:Η άλλη πλευρά.pngΣτο παραλληλόγραμμο είναι . Κύκλος που περνάει

από τα , τέμνει τις στα αντίστοιχα , ώστε .

Δείξτε ότι : .

Ο κύκλος δεν μου χρειάστηκε ( Τα A, S, P, B

δεν είναι υποχρεωτικά ομοκυκλικά).

: Διπλάσια χορδή.png (18.08 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές

Με νόμο συνημιτόνων στα ASP, BPC:

$\displaystyle{B{P^2} = 100 - 96\cos \theta = 4(25 - 24\cos \theta ) = 4S{P^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{BP=2SP}$

ή από την ομοιότητα των τριγώνων ASP, CPB.

#4

george visvikis έγραψε:
KARKAR έγραψε:Η άλλη πλευρά.pngΣτο παραλληλόγραμμο είναι . Κύκλος που περνάει

από τα , τέμνει τις στα αντίστοιχα , ώστε .

Δείξτε ότι : .
Ο κύκλος δεν μου χρειάστηκε ( Τα δεν είναι υποχρεωτικά ομοκυκλικά). Διπλάσια χορδή.png
Με νόμο συνημιτόνων στα $\displaystyle{B{P^2} = 100 - 96\cos \theta = 4(25 - 24\cos \theta ) = 4S{P^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{BP=2SP}$

ή από την ομοιότητα των τριγώνων

: Διπλάσιο μήκος.png (18.66 KiB) Προβλήθηκε 821 φορές

Ο Γιώργος έχει δίκιο και η άσκηση αντιμετωπίζεται και με ισότητα τριγώνων .

#5

Δεν χρειάζεται καν να είναι παραλληλόγραμμο. Αρκεί να είναι τραπέζιο με τα μεγέθη που φαίνονται στο σχήμα.

: Διπλάσια χορδή.b.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 797 φορές

KARKAR · #6

Κοιτάξτε το αρχικό σχήμα και τον τίτλο με τον οποίο το είχα αποθηκεύσει . Στην αρχική εκδοχή της άσκησης

το ζητούμενο ήταν ο υπολογισμός της πλευράς

. Βλέποντας όμως πως από τα όμοια $\displaystyle ABC,SPB$ ,

προκύπτει η ζητηθείσα σχέση , άλλαξα τελευταία στιγμή το ζητούμενο για την κάνω ...δυσκολότερη .

Αλλά λόγω των επιλεγέντων μηκών , προέκυψε κι άλλη ομοιότητα κι έτσι η άσκηση έγινε ...σουρωτήρι .

Λοιπόν τώρα , "υπολογίστε την πλευρά AB=x

"

: Η άλλη πλευρά.png (13.79 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

#7

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#8

KARKAR έγραψε:Κοιτάξτε το αρχικό σχήμα και τον τίτλο με τον οποίο το είχα αποθηκεύσει . Στην αρχική εκδοχή της άσκησης

το ζητούμενο ήταν ο υπολογισμός της πλευράς . Βλέποντας όμως πως από τα όμοια $\displaystyle ABC,SPB$ ,

προκύπτει η ζητηθείσα σχέση , άλλαξα τελευταία στιγμή το ζητούμενο για την κάνω ...δυσκολότερη .

Αλλά λόγω των επιλεγέντων μηκών , προέκυψε κι άλλη ομοιότητα κι έτσι η άσκηση έγινε ...σουρωτήρι .

Λοιπόν τώρα , "υπολογίστε την πλευρά "Η άλλη πλευρά.png

Ο πιο γρήγορος τρόπος είναι αυτός που περιέγραψε ο Νίκος πιο πάνω και υπάρχει και στο σχολικό. Αλλιώς:

: Άγνωστη πλευρά.png (21.27 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων PSB, BAC

είναι: $\boxed{\frac{BP}{SP}=\frac{8}{x}}$ (1)

Από νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα ADC, BPC, ASP

παίρνω:

$\displaystyle{\cos \varphi = \frac{{185 - {x^2}}}{{176}},B{P^2} = 113 - 112\cos \varphi ,S{P^2} = 25 - 24\cos \varphi \mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{B{P^2}}}{{S{P^2}}} = \frac{{64}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{7{x^2} - 52}}{{3{x^2} - 5}} = \frac{{32}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow 7{x^4} - 148{x^2} + 160 = 0},$ απ' όπου βρίσκω $\boxed{AB=x=2\sqrt 5}$ (η άλλη θετική ρίζα απορρίπτεται

λόγω τριγωνικής ανισότητας. Πρέπει 3<x<19

).

#9

: Η άλλη πλευρά του παραλληλογράμμου.png (23.48 KiB) Προβλήθηκε 751 φορές

Από $\vartriangle ABC \approx \vartriangle SPB$ έχω : $\dfrac{{BS}}{{AC}} = \dfrac{{BP}}{{BC}} = \dfrac{{PS}}{{AB}} = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} BS = a = 11k \hfill \\ BP = b = 8k \hfill \\ PS = c = xk \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,(1)$

Από το Θ. Πτολεμαίου στο τετράπλευρο ABPS

έχω :

$\displaystyle{AB \cdot PS + AS \cdot PB = AP \cdot BS}$ που λόγω των σχέσεων (1)

γίνεται:

$x(xk) + 3 \cdot 8k = 4 \cdot 11k \Rightarrow {x^2} = 20 \Rightarrow \boxed{x = 2\sqrt 5 }$ .

Με την από "ψηλά" βοήθεια.

Διπλάσια χορδή

Διπλάσια χορδή

Re: Διπλάσια χορδή

Re: Διπλάσια χορδή

Re: Διπλάσια χορδή

Re: Διπλάσια χορδή

Re: Διπλάσια χορδή

Re: Διπλάσια χορδή

Re: Διπλάσια χορδή

Re: Διπλάσια χορδή

Μέλη σε σύνδεση