Τέμνουσα και εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Τέμνουσα και εφαπτομένη.png (11.42 KiB) Προβλήθηκε 1302 φορές

Το

είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου AB=2r

και το

σημείο

της προέκτασης της

. Η ευθεία

τέμνει το τόξο στο σημείο

.

Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

, τέμνει την

στο σημείο

.

α) Δείξτε ότι PS=PT

.... β) Αν BS=AB

, υπολογίστε το (TPS)

.

Grigoris K. · #2

Καλησπέρα κ. Θανάση.

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου. Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \angle PST = 90^o - \angle OMT = 90^o - (45^o + \angle BMT) = 45^o - \angle BTP =}$

$\displaystyle{= 180^o - 135^o - \angle BTP = 180^o - \angle BTM - \angle BTP = \angle PTS}$ , άρα $\triangle TPS$ ισοσκελές. Επίσης από Δύναμη Σημείου έχουμε

$\displaystyle{PS^2 = PT^2 = PB\cdot PA \implies (2r- PB)^2 = PB(PB + 2r)\implies PB = \frac{2}{3} r }$ . Άρα $\displaystyle{PS = \frac{4}{3} r}$ .

Έπειτα, με Πυθαγόρειο Θεώρημα λαμβάνουμε $\displaystyle{ SM^2 = MO^2 + OS^2 = r^2 + 9r^2 \implies SM = \sqrt{10}r }$ . Πάλι με Δύναμη Σημείου

παίρνουμε $\displaystyle{ ST \cdot SM = SB\cdot SA \implies ST = \frac{8}{\sqrt{10}} r }$ . Έστω $\displaystyle{ TT' \perp AB}$ . Ισχύει $\displaystyle{ \frac{TT'}{MO} =\frac{ST}{SM} = \frac{4}{5} r}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{ (TPS) = \frac{PS\cdot TT'}{2} = \frac{8}{15}r^2}$ .

KARKAR · #3

Γρηγόρη καλώς επανεμφανίστηκες ! Στο forum υπάρχουν πολλοί θαυμαστές σου

κι εγώ είμαι ένας απ' αυτούς . Νάσαι καλά και πάντα να προοδεύεις

Grigoris K. · #4

KARKAR έγραψε:Γρηγόρη καλώς επανεμφανίστηκες ! Στο forum υπάρχουν πολλοί θαυμαστές σου

κι εγώ είμαι ένας απ' αυτούς . Νάσαι καλά και πάντα να προοδεύεις

Κ. Θανάση, σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια.

#5

KARKAR έγραψε:Γρηγόρη καλώς επανεμφανίστηκες ! Στο forum υπάρχουν πολλοί θαυμαστές σου

κι εγώ είμαι ένας απ' αυτούς . Νάσαι καλά και πάντα να προοδεύεις

Έτερος Καππαδόκης!!

Επειδή ξέρω ότι έχεις δεσμούς με την Ιεράπετρα , αν "κατηφορίσεις" προς τα δω πιστεύω να σε δούμε.

#6

1. Έστω

η προβολή του

στην

. Θέτω $BP = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PS = y$ . Έχω

$\widehat {{\omega _2}} = \widehat \theta + \widehat S\,\,(1)$ ως εξωτερική στο $\vartriangle TPS$ . Επίσης $\widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _1}}$

( οξείες με πλευρές κάθετες) και $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {2\theta } = 2\widehat {DTM}\,\,(2)$

( αφού TK//OM

και η $\overline {PTD}$ εφαπτομένη του ημικυκλίου )

Λόγω των $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ λόγω μεταβατικότητας έχω $\boxed{\widehat \theta = \widehat S \Leftrightarrow PS = PT = y}$ .

: Τέμνουσα κι εφαπτομένη.png (24.25 KiB) Προβλήθηκε 1224 φορές

2. Από τις προφανείς σχέσεις:

$\left\{ \begin{gathered} x + y = 2R \hfill \\ {(R + x)^2} = {R^2} + {y^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {(R + x)^2} = {R^2} + {(2R - x)^2}$

και άρα $\boxed{x = \dfrac{{2R}}{3}}$ . Έτσι θα έχω : $\left\{ \begin{gathered} OP = R + x = \dfrac{{5R}}{3} \hfill \\ PS = y = 2R - x = \dfrac{{4R}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\dfrac{{PS}}{{OP}} = \dfrac{4}{5}}$

Αλλά $(TOP) = \dfrac{1}{2}OT \cdot TP = \dfrac{R}{2} \cdot \dfrac{{4R}}{3} = \dfrac{{2{R^2}}}{3}$ και

$\dfrac{{(TPS)}}{{(TOP)}} = \dfrac{{PS}}{{OP}} \Rightarrow (TPS) = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{{2{R^2}}}{3} \Rightarrow \boxed{(TPS) = \dfrac{{8{R^2}}}{{15}}}$ .

Τέμνουσα και εφαπτομένη

Τέμνουσα και εφαπτομένη

Re: Τέμνουσα και εφαπτομένη

Re: Τέμνουσα και εφαπτομένη

Re: Τέμνουσα και εφαπτομένη

Re: Τέμνουσα και εφαπτομένη

Re: Τέμνουσα και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση