Σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x\leq 0}$

$\displaystyle{x^2 -2y +y^2 =0}$

$\displaystyle{\sqrt{2x^4 +y^2 +x^2 y^2 }-\sqrt{2y-2xy}=-\frac{1}{4}}$

stranger · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 7:33 am
Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x\leq 0}$

$\displaystyle{x^2 -2y +y^2 =0}$

$\displaystyle{\sqrt{2x^4 +y^2 +x^2 y^2 }-\sqrt{2y-2xy}=-\frac{1}{4}}$

Χρησιμοποιείς ότι 2y =x^2+y^2

στο δεξί ριζικό και η υπόριζη ποσότητα εκεί γίνεται (x-y)^2

.Έτσι φεύγει το ένα ριζικό. Αυτήν την ποσότητα την πηγαίνεις από το άλλο μέλος και υψωνεις στο τετράγωνο για να φύγει και το δεύτερο ριζικό.
Μετά έχεις μια πολυωνυμική τετάρτου βαθμού που γίνεται βαθμού $\leq 4$ ως προς

αν χρησιμοποιήσεις διαδοχικά την πρώτη δοθείσα εξίσωση.
Αυτός είναι κατά κάποιον τρόπο ένας αλγόριθμος λύσης.
Μπορεί όποιος θέλει να τον χρησιμοποιήσει μαζί με κάποια επιπλέον τεχνάσματα και να βρει νούμερα.

#3

Γράφω και έναν τρόπο, λίγο διαφορετικό από του Κώστα:

Έχουμε: $\displaystyle{\sqrt{2x^4 +y^2 +x^2 y^2}=\sqrt{2x^4 +y^2 +x^2 (2y-x^2 )}= \sqrt{2x^4 +y^2 +2x^2 y -x^4}=}$

$\displaystyle{\sqrt{x^4 +y^2 +2x^2 y}=\sqrt{(x^2 +y)^2 }=|x^2 +y|}$

Επίσης:

$\displaystyle{\sqrt{2y-2xy}=\sqrt{x^2 +y^2 -2xy}=\sqrt{(x-y)^2 } =|x-y|}$

Άρα έχουμε:

$\displaystyle{|x^2 +y|-|x-y|=-\frac{1}{4} }$ , (1)

Αλλά :

$\displaystyle{2y=x^2 +y^2 \Rightarrow 2y\geq 0\Rightarrow y\geq 0}$ και αφού $\displaystyle{x\leq 0}$ , άρα $\displaystyle{x\leq y}$

Έτσι η (1) γράφεται:

$\displaystyle{x^2 +y -(-x+y)= - \frac{1}{4} \Leftrightarrow x^2 +x =- \frac{1}{4}\Leftrightarrow 4x^2 +4x +1 =0 \Leftrightarrow (2x+1)^2 =0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{x=- \frac{1}{2}}$ , (δεκτή)

Τώρα η εξίσωση $\displaystyle{x^2 -2y +y^2 =0}$ , γράφεται:

$\displaystyle{\frac{1}{4} -2y +y^2 =0 \Leftrightarrow 4y^2 -8y +1 =0}$ και έχει τις λύσεις :

$\displaystyle{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$ και $\displaystyle{y=1-\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Άρα:

$\displaystyle{(x,y)\in\{(-\frac{1}{2} , 1+\frac{\sqrt{3}}{2}) , (-\frac{1}{2} , 1 - \frac{\sqrt{3}}{2})\}}$

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 7:33 am
Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x\leq 0}$

$\displaystyle{x^2 -2y +y^2 =0}$

$\displaystyle{\sqrt{2x^4 +y^2 +x^2 y^2 }-\sqrt{2y-2xy}=-\frac{1}{4}}$

Στο πρώτο υπόρριζο θέτω x^2=2y-y^2

και στο δεύτερο 2y=x^2+y^2.

Μετά τις πράξεις η δεύτερη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle |{y^2} - 3y| - |x - y| = - \frac{1}{4}.$ Αλλά η πρώτη εξίσωση γράφεται y^2-3y=-x^2-y.

Άρα, $\displaystyle |{x^2} + y| - |x - y| = - \frac{1}{4}$

Από την τελευταία εξίσωση, $\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}$ και στη συνέχεια $\boxed{y = \frac{1}{2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}$ ή $\boxed{y = \frac{1}{2}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}$

Για να διώξω τις απόλυτες τιμές χρησιμοποίησα το εξής:

$\displaystyle 2y - {y^2} = {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow 0 \leqslant y \leqslant 2,$ άρα |x^2+y|=x^2+y

και επειδή $x\le 0$ θα είναι |x-y|=-x+y.

Βιάστηκες Δημήτρη...

stranger · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 6:36 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 7:33 am
Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x\leq 0}$

$\displaystyle{x^2 -2y +y^2 =0}$

$\displaystyle{\sqrt{2x^4 +y^2 +x^2 y^2 }-\sqrt{2y-2xy}=-\frac{1}{4}}$
Στο πρώτο υπόρριζο θέτω και στο δεύτερο Μετά τις πράξεις η δεύτερη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle |{y^2} - 3y| - |x - y| = - \frac{1}{4}.$ Αλλά η πρώτη εξίσωση γράφεται

Άρα, $\displaystyle |{x^2} + y| - |x - y| = - \frac{1}{4}$

Από την τελευταία εξίσωση, $\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}$ και στη συνέχεια $\boxed{y = \frac{1}{2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}$ ή $\boxed{y = \frac{1}{2}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}$

Για να διώξω τις απόλυτες τιμές χρησιμοποίησα το εξής:

$\displaystyle 2y - {y^2} = {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow 0 \leqslant y \leqslant 2,$ άρα και επειδή $x\le 0$ θα είναι

Βιάστηκες Δημήτρη...

Ναι δεν θα μπορούσε να ανήκουν οι λύσεις σε διάστημα πραγματικών από τη στιγμή που είναι λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων(πάντα πεπερασμένες το πλήθος).

stranger · #6

stranger έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 7:07 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 6:36 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 7:33 am
Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x\leq 0}$

$\displaystyle{x^2 -2y +y^2 =0}$

$\displaystyle{\sqrt{2x^4 +y^2 +x^2 y^2 }-\sqrt{2y-2xy}=-\frac{1}{4}}$
Στο πρώτο υπόρριζο θέτω και στο δεύτερο Μετά τις πράξεις η δεύτερη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle |{y^2} - 3y| - |x - y| = - \frac{1}{4}.$ Αλλά η πρώτη εξίσωση γράφεται

Άρα, $\displaystyle |{x^2} + y| - |x - y| = - \frac{1}{4}$

Από την τελευταία εξίσωση, $\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}$ και στη συνέχεια $\boxed{y = \frac{1}{2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}$ ή $\boxed{y = \frac{1}{2}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}$

Για να διώξω τις απόλυτες τιμές χρησιμοποίησα το εξής:

$\displaystyle 2y - {y^2} = {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow 0 \leqslant y \leqslant 2,$ άρα και επειδή $x\le 0$ θα είναι

Βιάστηκες Δημήτρη...
Ναι δεν θα μπορούσε να ανήκουν οι λύσεις σε διάστημα πραγματικών από τη στιγμή που είναι λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων(πάντα πεπερασμένες το πλήθος).

Βιάστηκα και εγώ, νόμιζα ότι ο Δημήτρης αναφερόταν σε διαστήματα.

#7

Έχεις δίκιο Γιώργο. Βιάστηκα και έγραψα την λύση , που ίδια σχεδόν έγραψες ταυτόχρονα με εμένα .
Ωστόσο υπάρχουν κάποιες μικροδιαφορές, που είναι χρήσιμο να δουν οι ενδιαφερόμενοι.

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση