Φανταστική λύση

KARKAR · #1

Βρείτε όλες τις πραγματικές λύσεις της εξίσωσης : $48\sqrt[3]{3x-4}=x^3+32$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 16, 2024 7:15 am
Βρείτε όλες τις πραγματικές λύσεις της εξίσωσης : $48\sqrt[3]{3x-4}=x^3+32$ .

Η εξίσωση γράφεται $2\sqrt[3]{3x-4}=\dfrac {x^3+32}{24}$ . Οπότε για την γνήσια αύξουσα $f(x)= \dfrac {x^3+32}{24}$ είναι της μορφής

$f^{-1} (x) = f(x)$

(έλεγχος για την αντίστροφη: Η $y = 2\sqrt[3]{3x-4}$ ισοδυναμεί με την y^3= 8(3x-4)= 24x-32

από όπου $χ= \dfrac {y^3+32}{24}$ δηλαδή η αντίστροφη είναι η $g(y) = \dfrac {y^3+32}{24}$ , όπως θέλουμε).

Από γνωστή θεωρία η $f^{-1} (x) = f(x)$ για αύξουσα

ισοδυναμεί με την f(x)=x

. Εδώ $\dfrac {x^3+32}{24}=x$ , ισοδύναμα (x-4)(x^2+4x-8)=0

με ρίζες $4,\, -2\pm 2\sqrt {3}$ (δεκτές και οι τρεις, τουλάχιστον στο επίπεδο διαγωνισμών, αλλιώς κρατάμε αυτές που ικανοποιούν $3x-4 \ge 0$ , δηλαδή διώνχουμε την αρνητική από τις τρεις.)

Φανταστική λύση

Φανταστική λύση

Re: Φανταστική λύση

Μέλη σε σύνδεση