Ένα άθροισμα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{k \; \text{even}} \binom{n+1}{k} = \sum_{k \; \text{odd}} \binom{n+1}{k} = 2^n}$
Αν ο φάκελος δεν είναι σωστός, παρακαλώ όπως μετακινηθεί ...

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 29, 2024 9:10 pm
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{k \; \text{even}} \binom{n+1}{k} = \sum_{k \; \text{odd}} \binom{n+1}{k} = 2^n}$
Αν ο φάκελος δεν είναι σωστός, παρακαλώ όπως μετακινηθεί ...

Χρειάζεται το ανάπτυγμα του διωνύμου. Κατά τα άλλα είναι πολλή κοινή άσκηση που υπάρχει σε όλα τα βιβλία που έχουν το θανάπτυγμα του διωνύμου:

'Εχουμε $\displaystyle{(1+x) ^{n+1} = \sum_{k =0} ^{n+1} \binom{n+1}{k}x^k}$

Θέτουμε τώρα x=-1

οπότε με χρήση της $(-1) ^{m} =1$ αν

άρτιος και $(-1) ^{m} =-1$ αν

περιττός, έχουμε

$\displaystyle{0 = \sum_{k \; \text{even}} \binom{n+1}{k} - \sum_{k \; \text{odd}} \binom{n+1}{k}}$ , δηλαδή τα δύο αθροίσματα είναι ίσα.

Επίσης, για x=1

έχουμε

$\displaystyle{2^ {n+1} = \sum_{k \; \text{even}} \binom{n+1}{k} + \sum_{k \; \text{odd}} \binom{n+1}{k}}$

Συνεπώς το κάθε άθροισμα είναι το μισό του αριστερού μέλους, που είναι το αποδεικτέο.

Ένα άθροισμα

Ένα άθροισμα

Re: Ένα άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση