Άθροισμα και διαφορά αντιστρόφων θετικών αριθμών

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2024 7:19 am
Εάν , δείξτε ότι αν είναι $a - \displaystyle\frac{1}{a} = \sqrt a + \sqrt {\,\displaystyle\frac{1}{a}}$ , θα είναι και $a + \displaystyle\frac{1}{a} = 3$ και $a - \displaystyle\frac{1}{a} = \sqrt 5$ .
Στη συνέχεια προσδιορίστε την τιμή του .

$\displaystyle \left( {\sqrt a - \frac{1}{{\sqrt a }}} \right)\left( {\sqrt a + \frac{1}{{\sqrt a }}} \right) = \left( {\sqrt a + \frac{1}{{\sqrt a }}} \right) \Leftrightarrow \sqrt a - \frac{1}{{\sqrt a }} = 1$

$\displaystyle {\left( {\sqrt a - \frac{1}{{\sqrt a }}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{a + \frac{1}{a} = 3}$

$\displaystyle {\left( {\sqrt a + \frac{1}{{\sqrt a }}} \right)^2} = a + \frac{1}{a} + 2 = 5 \Leftrightarrow$ $\boxed{a - \frac{1}{a} = \sqrt 5 }$

$\displaystyle a + \frac{1}{a} + a - \frac{1}{a} = 3 + \sqrt 5 \Leftrightarrow$ $\boxed{a=\frac{3+\sqrt 5}{2}}$

#3

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2024 7:19 am
Εάν , δείξτε ότι αν είναι $a - \displaystyle\frac{1}{a} = \sqrt a + \sqrt {\,\displaystyle\frac{1}{a}}$ , θα είναι και $a + \displaystyle\frac{1}{a} = 3$ και $a - \displaystyle\frac{1}{a} = \sqrt 5$ .
Στη συνέχεια προσδιορίστε την τιμή του .

Έστω $a = {x^2}\,\,,\,\,x \ne 0$ . Η δοθείσα ισότητα γράφεται : ${x^2} - \dfrac{1}{{{x^2}}} = x + \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right) = 0$ .

Συνεπώς : x =

$\boxed{x = \varphi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}$ , έτσι $a = {\varphi ^2}$ οπότε , $a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{{{\varphi ^4} + 1}}{{{\varphi ^2}}} = \dfrac{{{{\left( {\varphi + 1} \right)}^2} + 1}}{{\varphi + 1}} = 3$ .

Ομοίως τα υπόλοιπα .

Άθροισμα και διαφορά αντιστρόφων θετικών αριθμών

Άθροισμα και διαφορά αντιστρόφων θετικών αριθμών

Re: Άθροισμα και διαφορά αντιστρόφων θετικών αριθμών

Re: Άθροισμα και διαφορά αντιστρόφων θετικών αριθμών

Μέλη σε σύνδεση