Ένα πολυώνυμο

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2024 8:41 pm
Το πολυώνυμο $P\left( x \right)={{\left( x-6 \right)}^{4}}+\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)\left( x-5 \right)\left( x-7 \right)$ ισούται

με την 4η δύναμη ενός ακέραιου αριθμού. Βρείτε όλους τους ακέραιους $x\,\,$ που το ικανοποιούν.

$A = \left\{ {2,} \right.\left. {4,5,7,12} \right\}$

$P(x) = {\left( {x - 6} \right)^4} + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x - 7} \right) = 2{x^4} - 42{x^3} + 331{x^2} - 1170x + {2^3} \cdot 197$ .

Για κάθε θετικό ακέραιο , εκτός του

δίδει θετικό αποτέλεσμα , ενώ για αρνητικούς ακεραίους δίδει θετικό αποτέλεσμα .

$\begin{gathered} P\left( 2 \right) = 256 = {2^8} = {4^4} \hfill \\ P\left( 4 \right) = 16 = {2^4} \hfill \\ P\left( 5 \right) = P\left( 7 \right) = 1 = {1^4} \hfill \\ P\left( {12} \right) = 4096 = {2^{12}} = {\left( {{2^3}} \right)^4} = {8^4} \hfill \\ \end{gathered}$

Έστω ότι υπάρχει θετικός ακέραιος n > 8

ώστε $P\left( x \right) = {n^4}$ τότε η εξίσωση : $P\left( x \right) - {n^4} = 0$ θα έχει ακεραία ρίζα

Δηλαδή ο «σταθερός» όρος : ${2^3} \cdot 197 - {n^4}$ παραγοντοποιείται .

Ας είναι $n = k + 8\,\,,k \in {\mathbb{N}^ * }$ τότε ο αριθμός ${\left( {k + 8} \right)^4} - {2^3} \cdot 197$ , εικάζω ότι ουδέποτε παραγοντοποιείται .

Δεν το έχω τεκμηριώσει αλλά με το Excel

και για : k = 1,2,...,2000

δοκιμές δεν παραγοντοποιείται .

Ένα πολυώνυμο

Ένα πολυώνυμο

Re: Ένα πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση