Όροι γεωμετρικής προόδου

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 02, 2023 8:05 pm
Να βρεθούν οι εάν αυτοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και ικανοποιούν

τις σχέσεις: $\displaystyle\frac{1}{xy}+\displaystyle\frac{1}{yz}+\displaystyle\frac{1}{zx}=\displaystyle\frac{13}{27}\,\,\,\,\,(1)\,\,\,$ και $\,\,\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=\displaystyle\frac{13}{9}\,\,\,\,\,(2)$ .

Θέτω : $\boxed{a = \frac{1}{x}\,\,,\,\,b = \frac{1}{y}\,\,,\,\,c = \frac{1}{z}}$ οπότε έχω το σύστημα:

$\left\{ \begin{gathered} ab + bc + ca = \frac{{13}}{{27}} \hfill \\ a + b + c = \frac{{13}}{9} \hfill \\ {b^2} = ac \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} ab + bc + {b^2} = \frac{{13}}{{27}} \hfill \\ a + b + c = \frac{{13}}{9} \hfill \\ {b^2} = ac \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b\left( {a + c + b} \right) = \frac{{13}}{{27}} \hfill \\ a + b + c = \frac{{13}}{9} \hfill \\ {b^2} = ac \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = \frac{1}{3} \hfill \\ a + c = \frac{{10}}{9} \hfill \\ \frac{1}{9} = ac \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Οι δύο τελευταίες από τους τύπους του Vieta

δίδουν την εξίσωση :

${k^2} - \dfrac{{10}}{9}k + \dfrac{1}{9} = 0 \Rightarrow k = 1\,\,,\,\,$ ή $k = \dfrac{1}{9}$ κι έτσι τελικά : $\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,3,9} \right)$ ή $\left( {x,y,z} \right) = \left( {9,3,1} \right)$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 02, 2023 8:05 pm
Να βρεθούν οι εάν αυτοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και ικανοποιούν

τις σχέσεις: $\displaystyle\frac{1}{xy}+\displaystyle\frac{1}{yz}+\displaystyle\frac{1}{zx}=\displaystyle\frac{13}{27}\,\,\,\,\,(1)\,\,\,$ και $\,\,\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=\displaystyle\frac{13}{9}\,\,\,\,\,(2)$ .

Καλησπέρα...

Αφού τα τα μη μηδενικά $\displaystyle{x,y,z}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμ. προόδου, τότε θα είναι:

$\displaystyle{y^2=xz\ \ (3) }$

Οι εξισώσεις (1) και (2) γίνονται:

$\displaystyle{\left.\begin{matrix} x+y+z=\frac{13}{27}xyz\\ \ \ \\ xy+yz+zx=\frac{13}{9}xyz \end{matrix} \right \} \ \ (4)}$

Σύμφωνα με την (3) το σύστημα (4) γίνεται:

$\displaystyle{\left.\begin{matrix} x+y+z=\frac{13}{27}y^3\\ \ \ \\ xy+yz+y^2=\frac{13}{9}y^3 \end{matrix} \right \} \ \ (5)}$

κι ακόμα:

$\displaystyle{\left.\begin{matrix} x+y+z=\frac{13}{27}y^3\\ \ \ \\ x+y+z=\frac{13}{9}y^2 \end{matrix} \right \} \ \ (6)}$

Εξισώνοντας τα δυο μέλη στο σύστημα (6) και επειδή $\displaystyle{y\neq 0}$ προκύπτει $\displaystyle{y=3 \ \ (7) }$

Από την πρώτη εξίσωση του συστήματος (6) θα είναι:

$\displaystyle{x+y+3=\frac{13}{27} \cdot 3^3 }$

δηλαδή:

$\displaystyle{x+z=10 \ \ (8) }$

Θεωρώντας τους τρεις αυτούς όρους με τη μορφή:

$\displaystyle{ \frac{y}{m}, y, ym \ \ (9) }$

η εξίσωση (8) δίνει την εξίσωση:

$\displaystyle{3m^2-10m+3=0 \ \ (10) }$

Εύκολα η (10) διαπιστώνεται ότι έχει δυο λύσεις. Αυτές είναι

$\displaystyle{m_1=3, m_2=\frac{1}{3} \ \ (11) }$

Από τις τιμές αυτές προκύπτει ότι έχουμε δυο τριάδιες ως λύση. Δηλαδή:

$\displaystyle{(x,y,z)=(1,3,9), (x,y,z)=(9,3,1) }$

Σημείωση:

Χρησιμοποιώντας την $\displaystyle{y=\sqrt{xz}}$

έχουμε το σύστημα:

$\displaystyle{\left.\begin{matrix} \frac{1}{x\sqrt{xz}}+\frac{1}{z\sqrt{xz}}+\frac{1}{zx}=\frac{13}{27} \\ \ \ \\ \frac{1}{x}+\frac{1}\sqrt{xz}}+\frac{1}{z}=\frac{13}{9} \end{matrix} \right \} \ \ (12) }$

Το σύστημα αυτό το δίνουμε σε ένα λογισμικό, π.χ. το Maple και τότε έχουμε αμέσως τη λύση:

: Γεωμετρική πρόοδος 1.png (8.66 KiB) Προβλήθηκε 489 φορές

Κώστας Δόρτσιος

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

#6

orestisgotsis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 02, 2023 8:05 pm
Να βρεθούν οι εάν αυτοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και ικανοποιούν

τις σχέσεις: $\displaystyle\frac{1}{xy}+\displaystyle\frac{1}{yz}+\displaystyle\frac{1}{zx}=\displaystyle\frac{13}{27}\,\,\,\,\,(1)\,\,\,$ και $\,\,\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=\displaystyle\frac{13}{9}\,\,\,\,\,(2)$ .

$\displaystyle \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{{y^2}}} = \frac{{13}}{{27}} \Leftrightarrow \frac{1}{y}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{y}} \right) = \frac{{13}}{{27}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} \frac{{13}}{{9y}} = \frac{{13}}{{27}} \Leftrightarrow$ $\boxed{y=3}$

Από τη (2),

$\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{{13}}{9} - \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{x + z}}{9} = \frac{{10}}{9} \Leftrightarrow x + z = 10.$ Άρα τα x,z

είναι ρίζες της εξίσωσης

t^2-10t+9=0,

απ' όπου

ή

Όροι γεωμετρικής προόδου

Όροι γεωμετρικής προόδου

Re: Όροι γεωμετρικής προόδου

Re: Όροι γεωμετρικής προόδου

Re: Όροι γεωμετρικής προόδου

Re: Όροι γεωμετρικής προόδου

Re: Όροι γεωμετρικής προόδου

Μέλη σε σύνδεση