Άθροισμα κλασμάτων μικρότερο από ότι φαίνεται

#1

Έστω $k,\,m,\, n$ μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με $\dfrac {1}{k} + \dfrac {1}{m} + \dfrac {1}{n} <1$ . Δείξτε ότι ισχύει $\dfrac {1}{k} + \dfrac {1}{m} + \dfrac {1}{n} \le \dfrac {41}{42}$ .

(Κάνει και για Juniors).

#2

Επαναφορά.

abfx · #3

Ας είναι λοιπόν $k,m,n \in \mathbb{Z}^+$ με $\displaystyle \frac{1}{k}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}<1$ .

Υποθέτω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $k\leq m\leq n$ .

Είναι $\displaystyle \frac{1}{k} <1 \implies k>1 \implies k\geq 2$ . Παίρνω περιπτώσεις:

Αν $k\geq 3$ , τότε $m,n\geq 3$ . Αν όμως , τότε $\displaystyle k=m=3 \implies \frac{1}{k}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1$ ,άτοπο.
Άρα, $\displaystyle n\geq 4 \implies \frac{1}{k}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}\leq\frac{41}{42}$ .

Αν , τότε . Αρκεί να δείξω ότι . Εξετάζω τρεις υποπεριπτώσεις:
- Αν , εύκολα $\displaystyle\frac{1}{m}+\frac{1}{n}>\frac{1}{2}$ , άτοπο.
- Αν , τότε $\displaystyle\frac{1}{3}+\frac{1}{n}<\frac{1}{2} \implies \frac{1}{n}<\frac{1}{6} \implies n>6 \implies n\geq 7 \implies\frac{1}{n}\leq\frac{1}{7} \implies \frac{1}{3}+\frac{1}{n}\leq \frac{10}{21}$ .
- Αν $m\geq 4$ , τότε $n\geq 4$ , όμως δίνει άτοπο.
  Άρα, $\displaystyle n\geq 5 \implies\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\leq \frac{9}{20}<\frac{10}{21}$ .

Τελείωσα.