Σύστημα

#1

Να λύσετε στο $\mathbb{R}$ το σύστημα: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {x^2} = {y^3} - 3{y^2} + 2y \hfill \\ {y^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 01, 2023 9:32 am
Να λύσετε στο $\mathbb{R}$ το σύστημα: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {x^2} = {y^3} - 3{y^2} + 2y \hfill \\ {y^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Έχουμε τον ακόλουθο Ισχυρισμό.

Ισχυρισμός: x=y

.
Απόδειξη: Έστω ότι $x \neq y$ . Τότε, είναι

(y^3-3y^2+2y)-(x^3-3x^2+2x)=x^2-y^2,

άρα, αφού $x-y \neq 0$ ,

x^2+xy+y^2-3(x+y)+2=-(x+y)

,

συνεπώς x^2+xy+y^2=2(x+y)-2

.

Θέτουμε x+y=s, xy=p,

συνεπώς

και αφού $p \leq s^2/4$ από την ΑΜ-ΓΜ, είναι

$s^2-2s+2=p \leq s^2/4,$

συνεπώς $s^2 \geq 4s^2-8s+8$ , άρα $3s^2-8s+8 \leq 0,$ άτοπο αφού $\Delta=8^2-4 \cdot 3 \cdot 8<0$ $\blacksquare$

Άρα, αφού x=y

,

συνεπώς $x \in \{0,2 -\sqrt{2},2+\sqrt{2} \},$ άρα τελικά έχουμε τρεις λύσεις, τις

$(x,y)=(0,0),(2-\sqrt{2},2-\sqrt{2}),(2+\sqrt{2},2+\sqrt{2})$ .

#3

.
Ωραία τεχνική.

Αλλιώς από εδώ και κάτω

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 01, 2023 10:57 am
συνεπώς .

Ισοδύναμα $x^2+(y-2)x+(y^2-2y+2) =0 , \, (*)$ . Ως δευτεροβάθμια ως προς

έχει διακρίνουσα (y-2)^2-4(y^2-2y+2) = -3y^2 +4y -4

. Αλλά η παράσταση αυτή είναι γνήσια αρνητική (όπως δηλαδή ο συντελεστής του y^2

) γιατί η δική του διακρίνουσα είναι 4^2-4(-3)(-4) = -32 <0

. Συνεπώς η (*)

δεν έχει πραγματική ρίζα (είναι γνήσια θετική).

ksofsa · #4

Λύση εκτός φακέλου:

Λόγω υπόθεσης,

$x^3-3x^2+2x+x^2=y^3-3y^2+2y+y^2\Leftrightarrow x^3-2x^2+2x=y^3-2y^2+2y\Leftrightarrow x=y$ ,

αφού η συνάρτηση f(t)=t^3-2t^2+2t

με παράγωγο f'(t)=3t^2-4t+2> 0

(έχει αρνητική διακρίνουσα), είναι γνησίως αύξουσα και άρα 1-1.

Οπότε, $x^3-4x^2+2x=0\Leftrightarrow x=0 or x^2-4x+2=0\Leftrightarrow x=0 or x=2-\sqrt{2} or x=2+\sqrt{2}$ και επειδή x=y

, παίρνουμε τις αντίστοιχες τιμές για το

.

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση