Πολυώνυμο με συντελεστές 1,-1

Al.Koutsouridis · #1

Το πολυώνυμο P(x)

βαθμού

δεν έχει πραγματικές ρίζες. Ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του είναι ίσος με

και όλοι οι υπόλοιποι συντελεστές είναι ίσοι είτε με

, είτε με

. Ποίος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός αρνητικών συνελεστών που μπορεί να έχει;

#2

To $\displaystyle P(x) = x^{2022}-x^{2021} + \cdots - x + 1$ έχει 1011

αρνητικούς συντελεστές αλλά δεν έχει πραγματικές ρίζες. Πράγματι το $(x+1)P(x) = x^{2023}+1$ έχει μοναδική πραγματική ρίζα το

η οποία δεν είναι ρίζα του P(x)

.

Αν τώρα κάποιο P(x)

που ικανοποιεί τις συνθήκες έχει περισσότερους αρνητικούς συντελεστές, τότε θα είχαμε P(1) < 0

. Από την άλλη όμως $P(x) \to \infty$ όταν $x \to \infty$ άρα από συνέχεια το P(x)

έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα στο $[1,\infty)$ , άτοπο.