Δεν είναι ρίζα

#1

Αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b , c}$ είναι ρητοί και διάφοροι του μηδενός, να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt[3]{3}}$ , δεν είναι ρίζα της

εξίσωσης: $\displaystyle{ax^2 +bx +c =0}$ .

#2

Κλειδί η ταυτότητα $(\sqrt{A})^3=A\sqrt{A},$ η οποία μας επιτρέπει, μέσω της $\left(\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^3=3,$ να συμπεράνουμε ότι είναι ρητός ο $\sqrt{b^2-4ac},$ άρα και ο $\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\sqrt[3]{3},$ άτοπο.

#3

Ας το δούμε και αλλιώς.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι $\displaystyle{a,b,c}$ είναι ακέραιοι.

Αν $\displaystyle{x=\sqrt[3]{3}}$ είναι ρίζα, έχουμε τις ισότητες

$\displaystyle{ax^2+bx+c=0, \\ 3a+bx^2+cx=0, \\ 3ax+3b+cx^2=0}$ .

Αυτό το σύστημα είναι ομογενές με μη μηδενικές λύσεις, οπότε ισχύει

$\displaystyle{ \begin{vmatrix} a &b &c \\ b&c &3a \\ c &3a &3b \end{vmatrix}}=0$ .

Δηλαδή $\displaystyle{9a^3+3b^2+c^3=9abc.}$ Η άπειρη κάθοδος μας οδηγεί στο $\displaystyle{a=b=c=0.}$

ksofsa · #4

Άλλη μια οπτική:

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι a,b,c

είναι ακέραιοι.

Έστω η $x=\sqrt[3]{3}$ ρίζα.

Θα ισχύουν οι ισότητες:
a^2x^3+abx^2+acx=0 (1)

Αφαιρώ τις δύο σχέσεις κατά μέλη και παίρνω:

$a^2x^3+acx-b^2x-bc=0\Leftrightarrow 3a^2-bc+(ac-b^2)x=0 (3)$ .

Αν ac=b^2

, τότε και bc=3a^2

και άρα

, αδύνατη στο

.

Τελικά $ac\neq b^2$ και $x=\dfrac{bc-3a^2}{ac-b^2}\epsilon Q$ , άτοπο.

stranger · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 09, 2022 9:37 pm
Αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b , c}$ είναι ρητοί και διάφοροι του μηδενός, να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt[3]{3}}$ , δεν είναι ρίζα της

εξίσωσης: $\displaystyle{ax^2 +bx +c =0}$ .

Εκτός φακέλου.
Ακόμα και

να είναι κάποιος από τα a,b,c

πάλι δεν μπορεί να είναι ρίζα ο $3^{\frac{1}{3}}$ . Αρκεί να μην είναι όλοι

.
Ο βαθμός επέκτασης του $\mathbb{Q}(3^{\frac{1}{3}})/\mathbb{Q}$ είναι

, οπότε δεν γίνεται να είναι ρίζα πολυωνύμου με βαθμό $\leq 2$ το οποίο να έχει ρητούς συντελεστές.

Δεν είναι ρίζα

Δεν είναι ρίζα

Re: Δεν είναι ρίζα

Re: Δεν είναι ρίζα

Re: Δεν είναι ρίζα

Re: Δεν είναι ρίζα

Μέλη σε σύνδεση