Από τον Θαλή στον Ευκλείδη;

Al.Koutsouridis · #1

Με αφορμή το τέταρτο θέμα του "Θαλή" της τρίτης λυκείου.

Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο

$P(x) = x^{3k+2} +x^{3m+1} +x^{3n}$

σε πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του ένα ( k,m,n

φυσικοί).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Εστω $g(x)=x^{2}+x+1$

Εχουμε ότι $x^{3}-1=(x-1)g(x)$

Επίσης είναι $x^{3r}-1=(x^{3}-1)q_{r}(x)=(x-1)g(x)q_{r}(x)$

όπου $r,q_{r}(x)$ φυσικός και πολυώνυμο αντίστοιχα.

Είναι $P(x)-g(x)=x^{2}(x^{3k}-1)+x(x^{3m}-1)+(x^{3n}-1)$
Αρα

$P(x)-g(x)=(x-1)g(x)(x^{2}q_{k}(x)+xq_{m}(x)+q_{n}(x))=(x-1)g(x)f(x)$

όπου f(x)

πολυώνυμο.

Τελικά P(x)=g(x)(1+(x-1)f(x))

είναι η ζητούμενη παραγοντοποίηση

Al.Koutsouridis · #3

Το θέμα αυτό στην μορφή "Να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυμο $x^{1985}+x+1$ σε πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του ένα"
είχε τεθεί στην 4η φάση της πανρωσικής ολυμπιάδας του 1985 για την 9η τάξη. Από όπου και άντλησα τον πιό γενικό τυπο για το πολυώνυμο (ειδική περίπτωση για k=661, m =0, n=0

.

Το πολυώνυμο στο 4ο θέμα του "Θαλή" είναι της παραπάνω μορφής για k=0, m=2, n=0

, βέβαια έχει την έξτρα ομορφιά και δυσκολία της θεωρίας αριθμών αλλά και της έξυπνης επιλογής των αριθμών.

Για την λύση του μάλλον αργά ή γρήγορα θα πρέπει κάποιος να καταφύγει στο να το παραγοντοποιήσει. Θα ήταν ενδιαφέρον πάντως να δούμε, πόσοι το έλυσαν και αν κατάφερε κανείς να το προσεγγίσει χωρίς παραγαντοποίηση του πολυωνύμου.

Από τον Θαλή στον Ευκλείδη;

Από τον Θαλή στον Ευκλείδη;

Re: Από τον Θαλή στον Ευκλείδη;

Re: Από τον Θαλή στον Ευκλείδη;

Μέλη σε σύνδεση