Πονηρή ανισότητα

#1

.
Αν $a, \, b,\, c,\, d,\,e >0$ , να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\left ( \dfrac {a}{b} \right ) ^4+ \left ( \dfrac {b}{c} \right ) ^4+ \left ( \dfrac {c}{d} \right ) ^4+ \left ( \dfrac {d}{e} \right ) ^4+ \left ( \dfrac {e}{a} \right ) ^4 \ge \dfrac {b}{a}+\dfrac {c}{b}+\dfrac {d}{c}+\dfrac {e}{d}+\dfrac {a}{e} }$

(Αν την δει κανείς σωστά, βγαίνει σε λίγες γραμμές.)

Dimessi · #2

Θέτω $\displaystyle x_{1}=\frac{a}{b},x_{2}=\frac{b}{c},...,x_{5}=\frac{e}{a}.$ Τότε $\displaystyle x_{i}^{4}+x_{i+1}^{4}+x_{i+2}^{4}+x_{i+3}^{4}\geq 4 x_{i}x_{i+1}x_{i+2}x_{i+3} =\frac{4}{x_{i+4}},$ όπου οι δείκτες είναι $\mod 5.$ Προσθέτοντας κυκλικά παίρνουμε $\displaystyle 4(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+...+x_{5}^{4})\geq \frac{4}{x_{1}}+\frac{4}{x_{2}}+...+\frac{4}{x_{5}},$ που είναι η ζητούμενη. $\blacksquare$

Πονηρή ανισότητα

Πονηρή ανισότητα

Re: Πονηρή ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση