Αχτύπητο ζευγάρι

KARKAR · #1

Να βρεθούν τα ζεύγη θετικών (x , y)

, για τους οποίους ισχύει :

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=y$ ... και : $x^6+\dfrac{1}{x^6}=6y$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 16, 2024 9:07 am
Να βρεθούν τα ζεύγη θετικών , για τους οποίους ισχύει :

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=y$ ... και : $x^6+\dfrac{1}{x^6}=6y$

Με διαίρεση κατά μέλη, $x^{12}-6x^8-6x^4+1=0.$ Θέτω x^4=t.

$\displaystyle {t^3} - 6{t^2} - 6t + 1 = 0 \Leftrightarrow (t + 1)({t^2} - t + 1) - 6t(t + 1) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle (t + 1)({t^2} - 7t + 1) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{t > 0} t = \frac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2} = {\left( {\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right)^4}$

Άρα, $\displaystyle x \in \left\{ { - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}, - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2},\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2},\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}$ και y=3.

Τα ζεύγη

μπορούν να γραφούν και συναρτήσει του $\phi,$ $\displaystyle \left( { - \phi ,3} \right),(\phi ,3),\left( { - \frac{1}{\phi },3} \right),\left( {\frac{1}{\phi },3} \right)$

Δεν διάβασα στην εκφώνηση το "θετικών", οπότε απορρίπτονται οι αρνητικές τιμές του Το είναι έτσι κι αλλιώς θετικό.

abgd · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 16, 2024 9:07 am
Να βρεθούν τα ζεύγη θετικών , για τους οποίους ισχύει :

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=y$ ... και : $x^6+\dfrac{1}{x^6}=6y$

$x^6+\dfrac{1}{x^6}=6y\Leftrightarrow \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^3-3\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)=6y\Leftrightarrow y^3=9y \Leftrightarrow \boxed{y=3}$

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=3 \Leftrightarrow x^2=1+\phi, \ \ x^2 =2-\phi =\dfrac{1}{\phi^2}\Leftrightarrow \boxed{x=\phi , \ \ x=\dfrac{1}{\phi}}$ , $\phi$ ο ¨χρυσός αριθμός"

Αχτύπητο ζευγάρι

Αχτύπητο ζευγάρι

Re: Αχτύπητο ζευγάρι

Re: Αχτύπητο ζευγάρι

Μέλη σε σύνδεση