Τριγωνομετρική με παράμετρο

Al.Koutsouridis · #1

Για ποιά ελάχιστη κατά απόλυτη τιμή της παραμέτρου

η εξίσωση

$1234\sin^{20} \left (x-\dfrac{\pi}{3} \right) -789\cos^{23} \left ( ax-\dfrac{\pi}{4}\right )=2023$

έχει λύση στο διάστημα $\left [ -\pi, \pi \right ]$ ;

(Για Γ' Λυκείου)

vgreco · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 14, 2023 2:27 pm
Για ποιά ελάχιστη κατά απόλυτη τιμή της παραμέτρου η εξίσωση

$1234\sin^{20} \left (x-\dfrac{\pi}{3} \right) -789\cos^{23} \left ( ax-\dfrac{\pi}{4}\right )=2023$

έχει λύση στο διάστημα $\left [ -\pi, \pi \right ]$ ;

(Για Γ' Λυκείου)

Παρατηρώ ότι:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \left. \begin{aligned} 1234\sin^{20} \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) \le 1234 \\[0.1in] - 789\cos^{23}\biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) \le 789 \\[0.02in] \end{aligned} \right\} &\overset{(+) \,}{=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} 1234\sin^{20} \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) - 789\cos^{23}\biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) \le 2023 \end{aligned} }$
Συνεπώς το "

" ισχύει παντού και έτσι πρέπει:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} &\sin^{20} \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) = 1 \\[0.1in] &\cos^{23}\biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) = -1 \\[0.01in] &-\pi \le x \le \pi \\[0.04in] \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &\sin \biggl(x - \dfrac{\pi}{3} \biggr) = \pm 1 \\[0.1in] &\cos \biggl( ax - \dfrac{\pi}{4} \biggr) = -1 \\[0.01in] &-\pi \le x \le \pi \\[0.04in] \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &x = \dfrac{5\pi}{6} \text{ \textgreek{ή} } x = -\dfrac{\pi}{6} \\[0.1in] &x = \dfrac{\pi(8k + 5)}{4a}, \quad k \in \mathbb{Z} \\[0.01in] &-\pi \le x \le \pi \\[0.04in] \end{aligned} \right. }$
Αντικαθιστώντας τις τιμές του

που βρήκα, προσδιορίζω το

συναρτήσει του

:

$\displaystyle{ \begin{aligned} x = \dfrac{\pi(8k + 5)}{4a} &\overset{x \; = \; \frac{5\pi}{6} \;}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} a = \dfrac{3(8k + 5)}{10} \\[0.15in] &\overset{x \; = \; -\frac{\pi}{6} \;}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} a = -\dfrac{3(8k + 5)}{2} \end{aligned} }$
Με δοκιμές, βρίσκω πως η ελάχιστη κατ' απόλυτη τιμή του

είναι $\boxed{|a| = \dfrac{9}{10}}$ όταν k = -1

.

Τριγωνομετρική με παράμετρο

Τριγωνομετρική με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρική με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση