Πολυώνυμο από ψηφία

Al.Koutsouridis · #1

Δίνεται ένας

ψήφιος πρώτος αριθμός $\overline{a_{1}a_{2} \ldots a_{n}}$ ( $a_{1}$ το πρώτο του ψηφίο, $a_{2}$ το δεύτερό του ψηφίο, ..., $a_{n}$ το τελευταίο του ψηφίο), όπου n >10

. Μμπορεί άραγε το πολυώνυμο

$P(x) = a_{1}x^{n-1} +a_{2}x^{n-2} + \ldots + a_{n}$

να έχει n-1

ακέραιες ρίζες, συμπεριλαμβανομένης της πολλαπλότητάς τους;

#2

Όχι, δεν μπορεί. Κατ' αρχάς προφανώς το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει θετική ρίζα. Επίσης, ούτε το

είναι ρίζα αφού τότε θα είχαμε a_n = 0

και ο αριθμός $\overline{a_1 \cdots a_n}$ δεν θα ήταν πρώτος. Έστω λοιπόν $-m_1,\ldots,-m_{n-1}$ οι ρίζες του, όπου $m_1,\ldots,m_{n-1}$ θετικοί ακέραιοι. Τότε

$\displaystyle P(x) = a_1(x+m_1) \cdots (x+m_{n-1})$

και $\displaystyle a_3 = a_1(n_1n_2 + n_1n_3 + \cdots) \geqslant a_1 \binom{n}{2} \geqslant \binom{11}{2} > 10$ άτοπο.

Δεύτερη απόδειξη

Αφού

$\displaystyle P(x) = a_1(x+m_1) \cdots (x+m_{n-1})$

και P(10)

είναι πρώτος, τότε όλα εκτός από το πολύ 1 από τα $(10+m_1), \ldots, (10+m_{n-1})$ είναι ίσα με

. Αυτό είναι άτοπο αφού $m_1,\ldots,m_{n-1}$ θετικοί.

Αυτή η δεύτερη απόδειξη μας δείχνει ότι μπορούμε να έχουμε ένα τέτοιο πολυώνυμο μόνο για n=1,2

.

Πολυώνυμο από ψηφία

Πολυώνυμο από ψηφία

Re: Πολυώνυμο από ψηφία

Μέλη σε σύνδεση