Έντονα παραμετρική

KARKAR · #1

Για τον πραγματικό

, θεωρούμε την εξίσωση : $\sqrt{2x^2-3}+\sqrt{x^2-k} =x$

α) Λύστε την εξίσωση , για : k=1

.

β) Βρείτε τις τιμές του

, για τις οποίες η εξίσωση έχει πραγματική ρίζα .

γ) Βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της ρίζας της εξίσωσης .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 12, 2022 9:58 am
Για τον πραγματικό , θεωρούμε την εξίσωση : $\sqrt{2x^2-3}+\sqrt{x^2-k} =x$

α) Λύστε την εξίσωση , για : .

β) Βρείτε τις τιμές του , για τις οποίες η εξίσωση έχει πραγματική ρίζα .

γ) Βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της ρίζας της εξίσωσης .

$\sqrt {2{x^2} - 3} + \sqrt {{x^2} - k} = x$

Επειδή το πρώτο μέλος είναι μη αρνητική παράσταση , αναγκαστικά $x \geqslant 0$

Έχω: $\sqrt {2{x^2} - 3} = x - \sqrt {{x^2} - k} \geqslant 0\,\,\,\mu \varepsilon \,\,x \geqslant \sqrt {{x^2} - k}$ κι αφού τα δύο μέλη είναι μη αρνητικές παραστάσεις θα είναι : $- k \leqslant 0 \Leftrightarrow k \geqslant 0$ .

α) Αν k = 1

εύκολα έχω ότι, ${x^4} - {x^2} - 1 = 0$ και άρα : $x = \sqrt \varphi$ με $\varphi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$ .

β) Αν τώρα εν γένει $k \geqslant 0$ έχω : $\sqrt {2{x^2} - 3} = x - \sqrt {{x^2} - k}$ απ’ όπου :

$2{x^2} - 3 = {x^2} + {x^2} - k - 2x\sqrt {{x^2} - k} \Rightarrow 2x\sqrt {{x^2} - k} = 3 - k$ . Πρέπει $3 - k \geqslant 0 \Rightarrow k \leqslant 3$ .

Αν λοιπόν $\boxed{0 \leqslant k \leqslant 3}$ έχω : ${x^4} - k{x^2} - {\left( {\dfrac{{3 - k}}{2}} \right)^2} = 0$

Η διακρίνουσα $\Delta = {k^2} + {\left( {3 - k} \right)^2} > 0$ , με δεκτή ρίζα ${x^2} = \dfrac{{k + \sqrt {{k^2} + {{\left( {3 - k} \right)}^2}} }}{2}$ , έτσι τελικά : $x = \sqrt {\dfrac{{k + \sqrt {{k^2} + {{\left( {3 - k} \right)}^2}} }}{2}}$ .

γ) Η συνάρτηση, $g(k) = \dfrac{{k + \sqrt {{k^2} + {{\left( {3 - k} \right)}^2}} }}{2}$ είναι γνήσια αύξουσα στο $\left[ {0,3} \right]$ .

Η μικρότερη ρίζα είναι, $x = \sqrt {g\left( 0 \right)} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$ και η μεγαλύτερη , $x = \sqrt {g\left( 3 \right)} = \sqrt 3$ .

: εντονα παραμετρική.png (9.22 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Πιο πάνω η γραφική παράσταση της $y = g\left( x \right)$ .

Έντονα παραμετρική

Έντονα παραμετρική

Re: Έντονα παραμετρική

Μέλη σε σύνδεση