Ρητοί-άρρητοι

#1

Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle \sqrt[3]{2}$ μπορεί να γραφεί ως $\displaystyle \sqrt[3]{2} = p + q\sqrt r,$ όπου p, q, r

ρητοί.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2020 8:31 pm
Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle \sqrt[3]{2}$ μπορεί να γραφεί ως $\displaystyle \sqrt[3]{2} = p + q\sqrt r,$ όπου ρητοί.

Απάντηση: Δεν γίνεται. Ακολουθεί απόδειξη με άτοπο.

Αν ο $\displaystyle{\displaystyle \sqrt[3]{2}}$ γράφεται ως $p + q\sqrt r$ ,θα πρέπει πρώτα απ'ο όλα να είναι $q\ne 0$ (διοτι ο $\displaystyle \sqrt[3]{2}$ είναι άρρητος). Υψώνοντας στον κύβο είναι

$\displaystyle{2 = (p^3+3pq^2r)+ q(3p^2+q^2r)\sqrt r}$

Επειδή $q\ne 0$ και $3p^2+q^2r\ne 0$ (είναι γνήσια θετικό) η προηγούμενη δίνει $\sqrt r=$ ρητός. Οπότε από την αρχική έπεται ότι $\displaystyle \sqrt[3]{2}=$ ρητός. Άτοπο.

#3

Κάπως αλλιώς: Αν ο άρρητος $\alpha =\root{3}\of{2}$ , που είναι ρίζα του πολυωνύμου $x^{3}-2$ , ήταν της μορφής $p+q\sqrt{r}$ θα ήταν αναγκαστικά άρρητος και ο $\sqrt{r}$ και επομένως το $x^{3}-2$ θα είχε ρίζες τους $p\pm q\sqrt{r}$ , άρα δευτεροβάθμιο παράγοντα με ρητούς συντελεστές συνεπώς και πρωτοβάθμιο παράγοντα με ρητούς συντελεστές δηλαδή ρητή ρίζα (άτοπο).

Γιώργος Μήτσιος · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2020 8:31 pm
Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle \sqrt[3]{2}$ μπορεί να γραφεί ως $\displaystyle \sqrt[3]{2} = p + q\sqrt r,$ όπου ρητοί.

Καλημέρα σε όλους!
Η απόδειξη που ακολουθεί, με απαγωγή σε άτοπο, οφείλεται κυρίως στον P.W. αλλά και στις ''πλάτες'' όσων τον στήριξαν!

Το τμήμα με μήκος $p+q\sqrt{r}$ κατασκευάζεται ως γνωστόν με κανόνα και διαβήτη.

Όμως η κατασκευή τμήματος με μήκος $\sqrt[3]{2}$ ισοδυναμεί με τον διπλασιασμό του κύβου ακμής a=1

που όπως απέδειξε ο Pierre Wantzell το 1837 είναι αδύνατος με κανόνα και διαβήτη.

Συνεπώς η εν λόγω ισότητα είναι αδύνατη. Φιλικά, Γιώργος.

#5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:03 am
Όμως η κατασκευή τμήματος με μήκος $\sqrt[3]{2}$ ... είναι αδύνατος με κανόνα και διαβήτη.

Γεια σου Γιώργο.

Ωραία και ευρηματική η απόδειξη, την οποία απόλαυσα. Όμως χρησιμοποιεί βαρύ πυροβολικό για
κάτι απλό. Όχι ότι είναι μεμπτό αυτό, αλλά για γνώση όσων μπορεί να μην γνωρίζουν την θεωρία πίσω
από την απόδειξη του Wantzel.

Γράφω το ποστ για να παραπέμψω εδώ για τον λησμονημένο αυτόν μαθηματικό. Υπόψη ότι ο ίδιος έδειξε και το σχετικό θεώρημα για την λεγόμενη περίπτωση της casus irreducibilis της κυβικής εξίσωσης.

Ρητοί-άρρητοι

Ρητοί-άρρητοι

Re: Ρητοί-άρρητοι

Re: Ρητοί-άρρητοι

Re: Ρητοί-άρρητοι

Re: Ρητοί-άρρητοι

Μέλη σε σύνδεση