7 συντρέχουν

miltosk · #1

Προέκυψε σε προσπάθεια λύσης άλλης (Vietnam MO 2020 P4 day 1 για οποιον ενδιαφερεται).
Έστω τρίγωνο ABC

και

το περίκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι Euler των τριγώνων: AOH, BOH, COH, AOB, AOC, BOC, ABC

διέρχονται από το ίδιο σημείο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

miltosk έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 4:36 pm
Προέκυψε σε προσπάθεια λύσης άλλης (Vietnam MO 2020 P4 day 1 για οποιον ενδιαφερεται).
Έστω τρίγωνο και το περίκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι Euler των τριγώνων: διέρχονται από το ίδιο σημείο.
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Σημείωση: Το σημείο αυτό πρέπει να είναι και το σημείο Poncelet του τριγώνου ABC ως προς O.

Αρχικά οι κύκλοι $\rm Euler$ των $\rm BOC,BOH,HOC,BHC$ συντρέχουν στο σημείο $\rm Poncelet$ του $\rm BHCO$ .Όμως ο κύκλος $\rm Euler$ του $\rm BCH$ είναι και κύκλος $\rm Euler$ του $\rm ABC$ αφού και οι δύο διέρχονται από το μέσο του $\rm BC$ ,του $\rm BH$ και του $\rm CH$ .Από το σημείο τομής όμως των κύκλων $\rm Euler$ των $\rm BOC,ABC$ θα περνάνε και οι κύκλοι $\rm Euler$ των $\rm ACO,ABO$ αφού θα είναι το σημείο $\rm Poncelet$ του $\rm ABCO$ .Επίσης το σημείο τομής όλων των παραπάνω θα είναι σημείο $\rm Poncelet$ του $\rm ABOH$ οπότε από αυτό θα περνά και ο κύκλος $\rm Euler$ του $\rm AOH$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

miltosk · #3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 5:45 pm

miltosk έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 4:36 pm
Προέκυψε σε προσπάθεια λύσης άλλης (Vietnam MO 2020 P4 day 1 για οποιον ενδιαφερεται).
Έστω τρίγωνο και το περίκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι Euler των τριγώνων: διέρχονται από το ίδιο σημείο.
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Σημείωση: Το σημείο αυτό πρέπει να είναι και το σημείο Poncelet του τριγώνου ABC ως προς O.

Αρχικά οι κύκλοι $\rm Euler$ των $\rm BOC,BOH,HOC,BHC$ συντρέχουν στο σημείο $\rm Poncelet$ του $\rm BHCO$ .Όμως ο κύκλος $\rm Euler$ του $\rm BCH$ είναι και κύκλος $\rm Euler$ του $\rm ABC$ αφού και οι δύο διέρχονται από το μέσο του $\rm BC$ ,του $\rm BH$ και του $\rm CH$ .Από το σημείο τομής όμως των κύκλων $\rm Euler$ των $\rm BOC,ABC$ θα περνάνε και οι κύκλοι $\rm Euler$ των $\rm ACO,ABO$ αφού θα είναι το σημείο $\rm Poncelet$ του $\rm ABCO$ .Επίσης το σημείο τομής όλων των παραπάνω θα είναι σημείο $\rm Poncelet$ του $\rm ABOH$ οπότε από αυτό θα περνά και ο κύκλος $\rm Euler$ του $\rm AOH$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αυτό είχα στα υπ όψη μου.

7 συντρέχουν

7 συντρέχουν

Re: 7 συντρέχουν

Re: 7 συντρέχουν

Μέλη σε σύνδεση