Εύρεση πρώτου αριθμού

Ιστοσελίδα · #1

Να βρείτε τον πρώτο αριθμό

αν και οι δύο ρίζες της εξίσωσης

x^2+px-340p=0

είναι ακέραιες.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο. Επομένως πρέπει D=p^2+1360p=p(p+1360)

να είναι τέλειο τετράγωνο. Παρατηρούμε πως το

διαιρείται με το

, άρα πρέπει να διαιρείται σε άρτιο βαθμό. Επομένως $p|p+1360\Leftrightarrow p|1360$ , άρα p=2

ή

.

Ελέγχουμε καθεμία από αυτές τις περιπτώσεις και παρατηρούμε πως μόνο το p=17

δίνει διακρίνουσα που είναι τέλειο τετράγωνο.

Οι λύσεις σε αυτή την περίπτωση είναι x_1=-68

και

, που πράγματι είναι ακέραιες.

Ιστοσελίδα · #3

Διαφορετικά

Έστω r_1,r_2

οι ρίζες της εξίσωσης. Τότε r_1r_2=-340p

. Άρα

ή

.
Έστω

, οπότε

,

ακέραιος.

Είναι $r_1+r_2=-p \Rightarrow r_2=-(m+1)p$ .

Τότε $r_1r_2=-340p \Rightarrow -(m+1)pmp=-340p \Rightarrow (m+1)mp=2^2\cdotp 5\cdotp 17$ .

Άρα $p\in\{2,5,17\}$ . Ελέγχουμε ότι p=17

και $m(m+1)=20=4\cdotp 5$ , οπότε m=4

.

Εύρεση πρώτου αριθμού

Εύρεση πρώτου αριθμού

Re: Εύρεση πρώτου αριθμού

Re: Εύρεση πρώτου αριθμού

Μέλη σε σύνδεση