Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3

#1

Δείξτε ότι αν για κάποιους φυσικούς αριθμούς $m,\, n$ ο 2^m+3^n

είναι πολλαπλάσιο του

, τότε και ο 2^n+3^m

θα είναι πολλαπλάσιο του

.

(Μου την έστειλαν χθες από Ρουμανία όπου εμφανίστηκε σε Μαθηματικό Διαγωνισμό για μαθητές Α' Γυμνασίου. Αν και έχω λύση -λίγες γραμμές- για Α' Γυμνασίου, την αναρτώ απευθυνόμενος σε μαθητές Λυκείου γιατί το θεωρώ ...πιο τίμιο.)

ksofsa · #2

Καλημέρα.

Δίνω λύση εκτός φακέλου, η οποία, ωστόσο, δείχνει ότι ο βαθύτερος λόγος που ισχύει το ζητούμενο είναι ότι το γινόμενο των αριθμών 2,3

αφήνει υπόλοιπο

με το

.

Στο διανυσματικό χώρο επί του $Z_{5}$ , τα διανύσματα (2^n,2^m),(3^m,3^n)

γραμμικώς εξαρτημένα, διότι η ορίζουσα

.Άρα,

. Λόγω της υπόθεσης, k=1

και το ζητούμενο έπεται.

Σχόλιο: Με την ίδια λογική αποδεικνύονται πολλές παρεμφερείς προτάσεις, όπως ότι 2^m+4^n

πολλαπλάσιο του

,αν και μόνο αν 3^n+6^m

πολλαπλάσιο του

.

#3

Οι δυνάμεις του

modulo

ξεκινάνε με 2,4,3,1

και επαναλαμβάνονται περιοδικά.
Οι δυνάμεις του

modulo

ξεκινάνε με 3,4,2,1

και επαναλαμβάνονται περιοδικά.

Αφού το

διαιρεί το 2^m + 3^n

τότε:

Αν $m \equiv 1 \bmod 4$ , τότε $n \equiv 1 \bmod 4$ . Τότε και ο 2^n + 3^m

θα είναι πολλαπλάσιο του

.
Αν $m \equiv 2 \bmod 4$ , τότε $n \equiv 4 \bmod 4$ . Τότε και ο 2^n + 3^m

θα είναι πολλαπλάσιο του

.
Αν $m \equiv 3 \bmod 4$ , τότε $n \equiv 3 \bmod 4$ . Τότε και ο 2^n + 3^m

θα είναι πολλαπλάσιο του

.
Αν $m \equiv 4 \bmod 4$ , τότε $n \equiv 4 \bmod 4$ . Τότε και ο 2^n + 3^m

θα είναι πολλαπλάσιο του

.

#4

Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά. Η απόδειξη γενικεύεται για να δείξει και το πιο γενικό αποτέλεσμα του Κώστα.

$\displaystyle \begin{aligned} 2^n + 3^m \equiv 0 \bmod 5 &\iff 2^n \equiv -3^m \bmod 5 \\ &\iff 2^n \equiv -(-2)^m \bmod 5 \\ &\iff 2^{m+n} \equiv -(-4)^m \bmod 5 \\ & \iff 2^{m+n} \equiv -1 \bmod 5 \\ & \iff 2^m + 3^n \equiv 0 \bmod 5 \end{aligned}$

όπου η τελευταία ισοδυναμία είναι από συμμετρία.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 14, 2023 8:43 am
Δείξτε ότι αν για κάποιους φυσικούς αριθμούς $m,\, n$ ο είναι πολλαπλάσιο του , τότε και ο θα είναι πολλαπλάσιο του .

(Μου την έστειλαν χθες από Ρουμανία όπου εμφανίστηκε σε Μαθηματικό Διαγωνισμό για μαθητές Α' Γυμνασίου. Αν και έχω λύση -λίγες γραμμές- για Α' Γυμνασίου, την αναρτώ απευθυνόμενος σε μαθητές Λυκείου γιατί το θεωρώ ...πιο τίμιο.)

Ας δούμε μία λύση στο ίδιο μήκος κύματος αλλά γραμμένη ώστε να είναι προσιτή σε μαθητές Α' Γυμνασίου, δηλαδή όπως θα την έγραφα αν τελικά είχα αναρτήσει την άσκηση σε φάκελο που απευθύνεται σε αυτούς τους μαθητές, και όχι σε φάκελο Λυκείου.

Εργαζόμαστε με το τελευταίο ψηφίο. Τα 2^m

είναι περιοδικά 2,4,8, 6

ανάλογα αν η δύναμη του

είναι $2^{4k+1}, \, 2^{4k+2}, \, 2^{4k+3}, \, 2^{4k+4},$ αντίστοιχα. Όμοια, 3^n

είναι περιοδικά 3, 9, 7, 1

ανάλογα αν η δύναμη του

είναι $3^{4t+1}, \, 3^{4t+2}, \, 3^{4t+3}, \, 3^{4t+4},$ αντίστοιχα.

To 2^m+3^n

είναι πολλαπλάσιο του

μόνο στις περιπτώσεις που τα τελευταία ψηφία είναι 2+3

ή

. Τα κοιτάμε χωριστά.

α) 2+3

. Τότε προέρχονται από $2^m + 3^n = 2^{4k+1}+ 3^{4t+1}$ . Αλλά τότε $2^n + 2^m = 2^{4t+1}+ 3^{4k+1}$ , που λήγει σε 2+3=5

, και είμαστε εντάξει.

β) 4+1

. Τότε προέρχονται από $2^m + 3^n = 2^{4k+2}+ 3^{4t+4}$ . Αλλά τότε $2^n + 3^m = 2^{4t+4}+ 3^{4k+2}$ , που λήγει σε 6+9=15

, και είμαστε εντάξει.

γ) 8+7

. Τότε προέρχονται από $2^m + 3^n = 2^{4k+3}+ 3^{4t+3}$ . Αλλά τότε $2^n + 3^m = 2^{4t+3}+ 3^{4k+3}$ , που λήγει σε 8+7=15

, και είμαστε εντάξει.

δ) 6+9

. Τότε προέρχονται από $2^m + 3^n = 2^{4k+4}+ 3^{4t+2}$ . Αλλά τότε $2^n + 3^m = 2^{4t+2}+ 3^{4k+4}$ , που λήγει σε 4+1=5

, και είμαστε εντάξει.

Αυτά καλύπτουν όλες τις περιπτώσεις.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 14, 2023 8:43 am
Δείξτε ότι αν για κάποιους φυσικούς αριθμούς $m,\, n$ ο είναι πολλαπλάσιο του , τότε και ο θα είναι πολλαπλάσιο του .

.
Αναρτώ και μία λύση χωρίς μόντουλα, που νομίζω ότι έχει την αξία της:

Έστω 2^m+3^n

είναι πολλαπλάσιο του

. Θεωρούμε ότι $n\ge m$ (όμοια με την ανάποδη ανισότητα). Εξετάζουμε τον αριθμό

$2^{n-m} (2^m+3^n)- (2^n+3^m)$

Αν δείξουμε ότι είναι πολλαπάσιο του

, τότε τελειώσαμε γιατί ο πρώτος προσθετέος είναι εξ υποθέσεως πολλαπλάσιο του

, άρα θα είναι και ο δεύτερος. Έχουμε προς τούτο:

$2^{n-m} (2^m+3^n)- (2^n+3^m) = 2^{n-m}3^n- 3^m = 3^{m} (2^{n-m}3^{n-m} - 1) = 3^{m} (6^{n-m} - 1) =$

$= 3^{m} (6 - 1) N$ , για κάποιον φυσικό

(από γνωστή ταυτότητα).

Άρα είναι πολλαπλάσιο του

. Τελειώσαμε.

ksofsa · #7

Λίγο διαφορετικά, αλλά στο ίδιο μήκος κύματος:

8^m+27^n=(2^m+3^n)^3-3(2^m+3^n)2^m3^n

άρα και το 8^m+27^n

πολλαπλάσιο του

Όμως, πολλαπλάσιο του

και το

.

Τελικά, πολλαπλάσιο του

το

.

Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3

Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3

Re: Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3

Re: Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3

Re: Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3

Re: Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3

Re: Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3

Re: Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3

Μέλη σε σύνδεση