Μία ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{\frac{x}{x+y}} + \sqrt{\frac{y}{y+z}} + \sqrt{\frac{z}{z+x}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}}$

telemathic · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 16, 2023 8:49 pm
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{\frac{x}{x+y}} + \sqrt{\frac{y}{y+z}} + \sqrt{\frac{z}{z+x}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}}$

Αν δεν κάνω λάθος εδω μπορούμε να διατάξουμε τις μεταβλητές και μετά εύκολα βγαίνουμε στο ζητουμενο?

#3

telemathic έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 19, 2023 10:23 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 16, 2023 8:49 pm
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{\frac{x}{x+y}} + \sqrt{\frac{y}{y+z}} + \sqrt{\frac{z}{z+x}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}}$
Αν δεν κάνω λάθος εδω μπορούμε να διατάξουμε τις μεταβλητές και μετά εύκολα βγαίνουμε στο ζητουμενο?

Δεν είναι τόσο απλά τα πράγματα. Λόγω κυκλικότητας, δεν μπορούμε να διατάξουμε τις μεταβλητές.

Μια σύντομη απόδειξη γίνεται με την ανισότητα Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle{\sqrt{\frac{x}{x+y}} + \sqrt{\frac{y}{y+z}} + \sqrt{\frac{z}{z+x}}\leq }$

$\displaystyle{\leq \sqrt{\left (\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+z)(y+x)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}\right)}\sqrt{(x+z)+(y+x)+(z+y)}}$ .

Πλέον αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+z)(y+x)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}\leq \frac{9}{4(x+y+z)},}$

η οποία ανάγεται στην προφανή

$\displaystyle{x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2\geq 0.}$

orestisgotsis · #4

Κενό

orestisgotsis · #5

Κενό

Henri van Aubel · #6

Ας δούμε π.χ μια απλή.

Θέτουμε y=ax

και

για κάποιους $a,b\in \mathbb{R}^{\ast }$ και η αποδεικτέα γίνεται:

$\displaystyle \sqrt{\frac{x}{x+ax}}+\sqrt{\frac{ax}{ax+bx}}+\sqrt{\frac{bx}{x+bx}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}\Longleftrightarrow$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \sqrt{\frac{1}{1+a}}+\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{1+b}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Όμως από Chauchy- Schwarz είναι $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{1+a}}+\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{1+b}}\leq \sqrt{\frac{a+b+a\left ( 1+b \right )+b\left ( 1+a \right )}{\left ( 1+a \right )\left ( a+b \right )\left ( 1+b \right )}}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{1+a+b}=$

$\displaystyle =\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{a+b+ab}}{\sqrt{\left ( 1+a \right )\left ( a+b \right )\left ( 1+b \right )}}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{1+a+b}=\frac{2\sqrt{\left ( a+b+ab \right )\left ( 1+a+b \right )}}{\sqrt{\left ( 1+a \right )\left ( a+b \right )\left ( 1+b \right )}}.$

Οπότε πλέον αρκεί $\displaystyle \frac{\left ( a+b+ab \right )\left ( 1+a+b \right )}{\left ( 1+a \right )\left ( a+b \right )\left ( 1+b \right )}\leq \frac{9}{8}\left ( \bigstar \right )$

Αυτή ανάγεται στην ανισότητα $\displaystyle 8\left ( a+b+ab \right )\left ( 1+a+b \right )\leq 9\left ( a+b \right )\left ( 1+a+b \right )+9\left ( a+b \right )ab\Longleftrightarrow$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \left ( 1+a+b \right )\left ( 8a+8b+8ab-9a-9b \right )\leq 9ab\left ( a+b \right )\Longleftrightarrow$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( -a-b+8ab-9ab \right )-a-b-8ab\leq 0$ που αληθεύει . $\square$

#7

Βέβαια, η αλήθεια είναι ότι οι αποδείξεις #4 και #6 είναι στην πραγματικότητα ολόιδιες με την #3.

Henri van Aubel · #8

matha έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 25, 2023 6:33 pm
Βέβαια, η αλήθεια είναι ότι οι αποδείξεις #4 και #6 είναι στην πραγματικότητα ολόιδιες με την #3.

Θανο καλησπέρα. Το αναφέρεις ως παράπονο ; Στο

κανείς δεν αντιγράφει κανέναν .Νομίζω ότι την έκανα πιο απλή την ανισότητα, εφόσον την μετέτρεψα σε ανισότητα όπου εμπλέκονται 2 μεταβλητές αντί για τρεις .

#9

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 25, 2023 6:39 pm

matha έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 25, 2023 6:33 pm
Βέβαια, η αλήθεια είναι ότι οι αποδείξεις #4 και #6 είναι στην πραγματικότητα ολόιδιες με την #3.
Θανο καλησπέρα. Το αναφέρεις ως παράπονο ; Στο κανείς δεν αντιγράφει κανέναν .Νομίζω ότι την έκανα πιο απλή την ανισότητα, εφόσον την μετέτρεψα σε ανισότητα όπου εμπλέκονται 2 μεταβλητές αντί για τρεις .

Κανένα παράπονο. Απλή επισήμανση.

Henri van Aubel · #10

matha έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 25, 2023 7:13 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 25, 2023 6:39 pm

matha έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 25, 2023 6:33 pm
Βέβαια, η αλήθεια είναι ότι οι αποδείξεις #4 και #6 είναι στην πραγματικότητα ολόιδιες με την #3.
Θανο καλησπέρα. Το αναφέρεις ως παράπονο ; Στο κανείς δεν αντιγράφει κανέναν .Νομίζω ότι την έκανα πιο απλή την ανισότητα, εφόσον την μετέτρεψα σε ανισότητα όπου εμπλέκονται 2 μεταβλητές αντί για τρεις .
Κανένα παράπονο. Απλή επισήμανση.

Α, ok.

Μία ανισότητα

Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση