Αθροισμα αντιστρόφων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε τους $x,y,z\in \mathbb{R}$
Εστω $a\neq b\neq c\neq a$ μη μηδενικοί πραγματικοί.
Αν
$\frac{1}{x+a}+\frac{1}{y+a}+\frac{1}{z+a}=\frac{1}{a}$

$\frac{1}{x+b}+\frac{1}{y+b}+\frac{1}{z+b}=\frac{1}{b}$

$\frac{1}{x+c}+\frac{1}{y+c}+\frac{1}{z+c}=\frac{1}{c}$

τότε να αποδείξετε ότι

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Θεωρούμε τους $x,y,z\in \mathbb{R}$
Εστω $a\neq b\neq c\neq a$ μη μηδενικοί πραγματικοί.
Αν
$\frac{1}{x+a}+\frac{1}{y+a}+\frac{1}{z+a}=\frac{1}{a}$

$\frac{1}{x+b}+\frac{1}{y+b}+\frac{1}{z+b}=\frac{1}{b}$

$\frac{1}{x+c}+\frac{1}{y+c}+\frac{1}{z+c}=\frac{1}{c}$

τότε να αποδείξετε ότι

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$

Πρώτα από όλα ας αλλάξουμε συμβολισμό για λόγους που θα φανούν στο τέλος (δεν είναι απαραίτητο αλλά για λόγους ... συνήθειας).

Τους δοθέντες x,y,z

θα τους λέμε A,B,C

και η πρώτη παράσταση γράφεται

$\frac{1}{A+a}+\frac{1}{B+a}+\frac{1}{C+a}=\frac{1}{a}$

και ανάλογα οι άλλες δύο. Η απλοποίηση δίνει

$\displaystyle{2a^3+(2A+2B+2C-AB-BC-CA)a^2-ABC=0}$

και όμοια για τις άλλες δύο. Δηλαδή τα a,b,c

είναι οι τρεις ρίζες της

$\displaystyle{2t^3+(2A+2B+2C-AB-BC-CA)t^2-ABC=0}$

(εδώ φαίνεται γιατί αλλάξαμε τα x,y,z

σε

, δεδομένου ότι έχουμε συνηθίσει να ονομάζουμε τις σταθερές με τα αρχικά γράμματα του αλφαβήτου και τις μεταβλητές με τα τελικά).

Από Vieta

$\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \frac {ab+bc+ca}{abc} = \frac {0} {ABC}= 0$ , όπως θέλαμε.

Αθροισμα αντιστρόφων

Αθροισμα αντιστρόφων

Re: Αθροισμα αντιστρόφων

Μέλη σε σύνδεση