Αριθμός ως άθροισμα διαφορετικών όρων ακολουθίας Fibonacci

#1

Θεωρούμε την ακολουθία $\{a_n\}_{n\geq 1}$ που ορίζεται ως a_1 = 1, a_2 = 2

και $a_{k+2} = a_{k+1} + a_k,$ για κάθε $k\geq 1$ .
Με πόσους τρόπους μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 2017

ως άθροισμα διαφορετικών όρων της ακολουθίας a_n;

#2

Οι αριθμοί της ακολουθίας που μας ενδιαφέρουν είναι οι 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

Επαγωγικά είναι εύκολο να δείξουμε ότι $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = a_{n+2}-2$ .

Για να φτιάξουμε τον 2017

πρέπει αναγκαστικά να χρησιμοποιήσουμε τον 987

ή τον

αφού αλλιώς το μέγιστο άθροισμα που θα μπορούσαμε να έχουμε είναι το $1+2+\cdots+610 = 1595$ .

Αν λοιπόν γράψουμε f(n)

για το πλήθος των τρόπων που μπορούμε να γράψουμε τον

ως άθροισμα διαφορετικών αριθμών Fibonacci τότε θα έχουμε f(2017) = f(2017-987) + f(2017-1597) = f(1030) + f(420)

. Ομοίως έχουμε:

$\displaystyle f(2017) = f(1030) + f(420) = f(43) + 2f(420) = 3f(43) + 2f(187) = 5f(43) + 2f(98)$
$\displaystyle = 7f(43) + 2f(9) = 9f(9) + 7f(22) = 16f(9) + 7 = 16f(4) + 23 = 16+23 = 39$

Αριθμός ως άθροισμα διαφορετικών όρων ακολουθίας Fibonacci

Αριθμός ως άθροισμα διαφορετικών όρων ακολουθίας Fibonacci

Re: Αριθμός ως άθροισμα διαφορετικών όρων ακολουθίας Fibonacci

Μέλη σε σύνδεση