Πρώτος και κύβος δεν πάνε...

Fotis34 · #1

Να προσδιορίσετε όλους τους πρώτους αριθμούς $\displaystyle{p,}$ ώστε ο αριθμός:

$\displaystyle{p²-p+1,}$ να είναι τέλειος κύβος ακεραίου.

(Ας την αφήσουμε $\displaystyle{24}$ ώρες για τους μαθητές).

Fotis34 · #2

Ανοικτή σε όλους.

#3

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 25, 2026 3:02 pm
Να προσδιορίσετε όλους τους πρώτους αριθμούς $\displaystyle{p,}$ ώστε ο αριθμός:

$\displaystyle{p²-p+1,}$ να είναι τέλειος κύβος ακεραίου.

.
Απάντηση: Μοναδική λύση η p=19

όπου

Πράγματι αν p^2-p+1=a^3

τότε

. Αλλά τότε είναι p|a-1

ή

, τα οποία εξετάζουμε χωριστά.

α) p|a-1

Τότε

για κάποιο φυσικό

. Πίσω στην εξίσωση δίνει

$p^2-p+1=(kp+1)^3\ge (p+1)^3 = p^3+3p^2+3p+1 > 3p^2+3p+1>p^2-p+1$ , άτοπο.

β) p|a^2+a+1

Τότε

για κάποιο φυσικό

. Πίσω στην εξίσωση δίνει

p(p-1)=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1) = (a-1)kp

, οπότε

, ισοδύναμα p=ak-k+1

. Άρα

, ισοδύναμα a^2+(1-k^2)a+(k^2-k+1)=0

(*).

Ως δευτεροβάθμια ως προς

έχει διακρίνουσα D=k^4-6k^2+4k-3

η οποία πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.

Για μικρά

δοκιμάζουμε με το χέρι: Τo k=1

δίνει

και για

δίνει

(απορρίπτονται). Για k=3

δίνει

(δεκτή) με αντίστοιχο

από την (*) το $\boxed {a=7}$ από όπου $\boxed {p=19}$ .

Μένει η περίπτωση $k\ge 4$ . Εύκολα τότε βλέπουμε για την διακρίνουσα

ότι

. Εδώ τα άκρα έχουν μόνο ένα τέλειο τετράγωνο μεταξύ τους, το (k^2-3)^2

. Άρα η μόνη περίπτωση να είναι τέλειο τετράγωνο η μεσαία παράσταση είναι όταν

k^4-6k^2+4k-3 =(k^2-3)^2

, ισοδύναμα 4k=12

, που δεν μας ενδιαφέρει αφού έχουμε $k\ge 4$ .

Συνεπώς δεν έχουμε άλλη λύση. Τελειώσαμε.

Θα ήθελα να ρωτήσω τον θεματοθέτη Φώτη αν έχει λύση για επίπεδο Γυμνασίου. Η παραπάνω περιέχει Μαθηματικά που είναι γνωστά σε μαθητές Γυμνασίου αλλά μάλλον ξεφεύγουν σε δυσκολία. Ο ίδιος έχει κάτι πιο προσιτό;

Fotis34 · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 26, 2026 11:56 pm

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 25, 2026 3:02 pm
Να προσδιορίσετε όλους τους πρώτους αριθμούς $\displaystyle{p,}$ ώστε ο αριθμός:

$\displaystyle{p²-p+1,}$ να είναι τέλειος κύβος ακεραίου.

.
Απάντηση: Μοναδική λύση η όπου

Πράγματι αν τότε . Αλλά τότε είναι ή , τα οποία εξετάζουμε χωριστά.

α)

Τότε για κάποιο φυσικό . Πίσω στην εξίσωση δίνει

$p^2-p+1=(kp+1)^3\ge (p+1)^3 = p^3+3p^2+3p+1 > 3p^2+3p+1>p^2-p+1$ , άτοπο.

β)

Τότε για κάποιο φυσικό . Πίσω στην εξίσωση δίνει

, οπότε , ισοδύναμα . Άρα

, ισοδύναμα (*).

Ως δευτεροβάθμια ως προς έχει διακρίνουσα η οποία πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.

Για μικρά δοκιμάζουμε με το χέρι: Τo δίνει και για δίνει (απορρίπτονται). Για δίνει (δεκτή) με αντίστοιχο από την (*) το $\boxed {a=7}$ από όπου $\boxed {p=19}$ .

Μένει η περίπτωση $k\ge 4$ . Εύκολα τότε βλέπουμε για την διακρίνουσα ότι

. Εδώ τα άκρα έχουν μόνο ένα τέλειο τετράγωνο μεταξύ τους, το . Άρα η μόνη περίπτωση να είναι τέλειο τετράγωνο η μεσαία παράσταση είναι όταν

, ισοδύναμα , που δεν μας ενδιαφέρει αφού έχουμε $k\ge 4$ .

Συνεπώς δεν έχουμε άλλη λύση. Τελειώσαμε.

Θα ήθελα να ρωτήσω τον θεματοθέτη Φώτη αν έχει λύση για επίπεδο Γυμνασίου. Η παραπάνω περιέχει Μαθηματικά που είναι γνωστά σε μαθητές Γυμνασίου αλλά μάλλον ξεφεύγουν σε δυσκολία. Ο ίδιος έχει κάτι πιο προσιτό;

Αυτή την λύση έχω και εγώ. Νομίζω ότι η άσκηση κάνει και για Προκριματικό Γυμνασίου. Όπως έχουμε δει σε παλιά θέματα Προκριματικών, υπάρχουν και πιο δύσκολες ασκήσεις από την συγκεκριμένη.

#5

Fotis34 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 27, 2026 6:19 pm

Αυτή την λύση έχω και εγώ.

.
Αν έχεις λύση του ιδίου ύφους τότε, λαμβάνοντας υπόψη την ηλικία σου, έχεις τα συγχαρητήριά μου.

Θέλω να ρωτήσω ακόμη αν η άσκηση είναι δικής σου κατασκευής ή την έχεις αντλήσει από κάπου. Και αν ναι, από πού;

Fotis34 · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 27, 2026 7:08 pm

Fotis34 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 27, 2026 6:19 pm

Αυτή την λύση έχω και εγώ.
Αν έχεις λύση του ιδίου ύφους τότε, λαμβάνοντας υπόψη την ηλικία σου, έχεις τα συγχαρητήριά μου.

Θέλω να ρωτήσω ακόμη αν η άσκηση είναι δικής σου κατασκευής ή την έχεις αντλήσει από κάπου. Και αν ναι, από πού;

Σας ευχαριστώ πολύ! Έχουν περάσει ακριβώς πέντε μήνες από τότε που ξεκίνησα να ασχολούμαι, σοβαρά, με τη Θεωρία Αριθμών, και μπορώ να πω με βεβαιότητα ότι αυτή η ενασχόληση υπήρξε εξαιρετικά σημαντική για μένα και δεν πρόκειται να τη μετανιώσω ποτέ.

Επίσης, θα ήθελα να αναφέρω ότι η συγκεκριμένη άσκηση προέρχεται από διαγωνισμό επιλογής του Εκουαδόρ.

Πρώτος και κύβος δεν πάνε...

Πρώτος και κύβος δεν πάνε...

Re: Πρώτος και κύβος δεν πάνε...

Re: Πρώτος και κύβος δεν πάνε...

Re: Πρώτος και κύβος δεν πάνε...

Re: Πρώτος και κύβος δεν πάνε...

Re: Πρώτος και κύβος δεν πάνε...

Μέλη σε σύνδεση