Κάθε ένας διαιρείται με μια τέλεια δύναμη

#1

Ονομάζουμε έναν φυσικό αριθμό

όμορφο αν ο

διαιρείται με ένα τέλειο τετράγωνο, ο n+1

με έναν τέλειο κύβο και ο n+2

με μια τέλεια τέταρτη δύναμη.

(α) Να δείξετε ότι ο 2023

είναι όμορφος.
(β) Αποφασίστε αν υπάρχουν άπειροι όμορφοι αριθμοί ή όχι.

Ορέστης Λιγνός · #2

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 31, 2022 10:23 am
Ονομάζουμε έναν φυσικό αριθμό όμορφο αν ο διαιρείται με ένα τέλειο τετράγωνο, ο με έναν τέλειο κύβο και ο με μια τέλεια τέταρτη δύναμη.

(α) Να δείξετε ότι ο είναι όμορφος.
(β) Αποφασίστε αν υπάρχουν άπειροι όμορφοι αριθμοί ή όχι.

(α) Είναι $17^2 \mid 2023$ , $2^3 \mid (2023+1)$ και $3^3 \mid (2023+2)$ .
(β) Υπάρχουν άπειροι όμορφοι αριθμοί. Από το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων μπορούμε να επιλέξουμε άπειρα

τέτοια, ώστε

$n \equiv 0 \pmod {5^2}$ ,
$n \equiv -1 \pmod {3^3}$ και
$n \equiv -2 \pmod {2^4}$ ,

συνεπώς προκύπτει ότι $5^2 \mid n$ , $3^3 \mid (n+1)$ και $2^4 \mid (n+2)$ , άρα κάθε τέτοιος

είναι όμορφος αριθμός.

Κάθε ένας διαιρείται με μια τέλεια δύναμη

Κάθε ένας διαιρείται με μια τέλεια δύναμη

Re: Κάθε ένας διαιρείται με μια τέλεια δύναμη

Μέλη σε σύνδεση