Υπάρχουν;

#1

α) Να εξετάσετε αν υπάρχουν θετικοί ακέραiοι a,b,c,

όχι απαραίτητα διαφορετικοί, τέτοιοι ώστε
a+b+c=2010

και ο αριθμός 2^a+2^b+2^c

να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν θετικοί ακέραiοι a,b,c,

όχι απαραίτητα διαφορετικοί, τέτοιοι ώστε
a+b+c=2010

και ο αριθμός 3^a+3^b+3^c

να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Henri van Aubel · #2

Καλησπέρα!
Υποθέτω ότι $\displaystyle b,c> a$

α) Πρέπει ο $\displaystyle 2^{a}\cdot \left ( 2^{b-a}+2^{c-a} +1\right )$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Άμεσα ο

είναι άρτιος, θα πρέπει ο $\displaystyle 2^{b-a}+2^{c-a}+1$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Δηλαδή θα πρέπει ο $\displaystyle 2^{b-a}+2^{c-a}$ να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle 8.$ Αυτό γίνεται για κάθε $\displaystyle b,c\geq a+3$ . Άρα είναι δυνατό!!

β) Πρέπει ο $\displaystyle 3^{a}\cdot \left ( 3^{b-a}+3^{c-a}+1 \right )$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Άμεσα ο

είναι άρτιος και άρα ο $3^{b-a}+3^{c-a}$ θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του

Αυτό όμως είναι άτοπο!

Επιβεβαιώνει κάποιος;

Υπάρχουν;

Υπάρχουν;

Re: Υπάρχουν;

Μέλη σε σύνδεση