Αρμονικό άθροισμα

gschwindi · #1

Έστω

ένας περιττός πρώτος.

Έστω, επίσης, $\frac{a}{b} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{p-1}$ , με το κλάσμα $\frac{a}{b}$ ανάγωγο.

Να δείξετε ότι p | a

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

gschwindi έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 18, 2019 9:38 pm
Έστω ένας περιττός πρώτος.

Έστω, επίσης, $\frac{a}{b} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{p-1}$ , με το κλάσμα $\frac{a}{b}$ ανάγωγο.

Να δείξετε ότι .

Καλησπέρα!

Παρατηρούμε ότι
$\displaystyle{\dfrac{a}{b}=\sum_{i=1}^{\dfrac{p-1}{2}}\dfrac{p}{\left ( p-i \right )i}=\dfrac{kp}{\left ( p-1 \right )!},k\in \mathbb{N}\Rightarrow a\left ( p-1 \right )!\equiv kpb(\mod p)}$

άρα από το θεώρημα Wilson

είναι $a\equiv 0(\mod p)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Απρ 03, 2019 8:02 pm

gschwindi έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 18, 2019 9:38 pm
Έστω ένας περιττός πρώτος.

Έστω, επίσης, $\frac{a}{b} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{p-1}$ , με το κλάσμα $\frac{a}{b}$ ανάγωγο.

Να δείξετε ότι .
Καλησπέρα!

Παρατηρούμε ότι
$\displaystyle{\dfrac{a}{b}=\sum_{i=1}^{\dfrac{p-1}{2}}\dfrac{p}{\left ( p-i \right )i}=\dfrac{kp}{\left ( p-1 \right )!},k\in \mathbb{N}\Rightarrow a\left ( p-1 \right )!\equiv kpb(\mod p)}$

άρα από το θεώρημα είναι $a\equiv 0(\mod p)$

Δεν νομίζω ότι χρειάζεται το Θ.Wilson.

Από την

a(p-1)!=kpb

έχουμε ότι

p/a(p-1)!

λόγω της προφανούς

((p-1)!,p)=1

παίρνουμε ότι

p/a

Αρμονικό άθροισμα

Αρμονικό άθροισμα

Re: Αρμονικό άθροισμα

Re: Αρμονικό άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση