Αρμονικό άθροισμα

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

gschwindi
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Δευ Μαρ 11, 2019 6:23 pm

Αρμονικό άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gschwindi » Δευ Μαρ 18, 2019 9:38 pm

Έστω  p ένας περιττός πρώτος.


Έστω, επίσης, \frac{a}{b} = 1 +  \frac{1}{2} +  \frac{1}{3} +  \frac{1}{4} + ... +  \frac{1}{p-1} , με το κλάσμα \frac{a}{b} ανάγωγο.


Να δείξετε ότι  p | a .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 370
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Αρμονικό άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Απρ 03, 2019 8:02 pm

gschwindi έγραψε:
Δευ Μαρ 18, 2019 9:38 pm
Έστω  p ένας περιττός πρώτος.


Έστω, επίσης, \frac{a}{b} = 1 +  \frac{1}{2} +  \frac{1}{3} +  \frac{1}{4} + ... +  \frac{1}{p-1} , με το κλάσμα \frac{a}{b} ανάγωγο.


Να δείξετε ότι  p | a .
Καλησπέρα!

Παρατηρούμε ότι
\displaystyle{\dfrac{a}{b}=\sum_{i=1}^{\dfrac{p-1}{2}}\dfrac{p}{\left ( p-i \right )i}=\dfrac{kp}{\left ( p-1 \right )!},k\in \mathbb{N}\Rightarrow a\left ( p-1 \right )!\equiv kpb(\mod p)}

άρα από το θεώρημα Wilson είναι a\equiv 0(\mod p)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2566
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αρμονικό άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Απρ 04, 2019 10:53 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τετ Απρ 03, 2019 8:02 pm
gschwindi έγραψε:
Δευ Μαρ 18, 2019 9:38 pm
Έστω  p ένας περιττός πρώτος.


Έστω, επίσης, \frac{a}{b} = 1 +  \frac{1}{2} +  \frac{1}{3} +  \frac{1}{4} + ... +  \frac{1}{p-1} , με το κλάσμα \frac{a}{b} ανάγωγο.


Να δείξετε ότι  p | a .
Καλησπέρα!

Παρατηρούμε ότι
\displaystyle{\dfrac{a}{b}=\sum_{i=1}^{\dfrac{p-1}{2}}\dfrac{p}{\left ( p-i \right )i}=\dfrac{kp}{\left ( p-1 \right )!},k\in \mathbb{N}\Rightarrow a\left ( p-1 \right )!\equiv kpb(\mod p)}

άρα από το θεώρημα Wilson είναι a\equiv 0(\mod p)
Δεν νομίζω ότι χρειάζεται το Θ.Wilson.

Από την

a(p-1)!=kpb

έχουμε ότι

p/a(p-1)!

λόγω της προφανούς

((p-1)!,p)=1

παίρνουμε ότι

p/a


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης