Απλή και Ωραία

JimNt. · #1

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (x,y)

που ικανοποιούν την $xy=\dbinom{x}{y}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

.

Θα είναι προφανώς x>y

.

Κάνοντας τις πράξεις έχουμε:

$y\cdot y!=(x-1)(x-2)(x-3)\cdot...\cdot (x-y+1)$

Το πολυώνυμο $(x-1)(x-2)(x-3)\cdot...\cdot (x-y+1)$ για $x\geq y$ δεν έχει άλλες ρίζες, άρα είναι αύξουσα συνάρτηση.

Αν $x\geq y+3$ , τότε $y\cdot y!=(x-1)(x-2)(x-3)\cdot...\cdot (x-y+1)\geq y!\cdot \dfrac{(y+1)(y+2)}{6}$ , οπότε $6y\geq (y+1)(y+2)\Leftrightarrow (y-1)(y-2)\leq 0$ , άτοπο, αφού y>2

Άρα

ή

.

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε ότι $y\cdot y!=y!$ , άτοπο αφού y>2

.

Στην δεύτερη περίπτωση έχουμε ότι $y\cdot y!=y!\cdot \dfrac{y+1}{2}$ , άρα $2y=y+1\Leftrightarrow y=1$ , άτοπο.

Οπότε y=1

ή

.

Για

η σχέση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο

.

Για

έχουμε $2x=\dfrac{x(x-1)}{2}\Leftrightarrow x^2-5x=0\Leftrightarrow x=5$ .

Συνοψίζοντας οι λύσεις είναι (x, y)=(n, 1)

ή

Απλή και Ωραία

Απλή και Ωραία

Re: Απλή και Ωραία

Μέλη σε σύνδεση