Απόσταση όχι ρητός

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Να βρεθεί ένα σύνολο σημείων του επιπέδου με τον ελάχιστο πλήθος σημείων ώστε για κάθε σημείο του επιπέδου
τουλάχιστον μια από τις αποστάσεις του από τα σημεία του συνόλου δεν είναι ρητός.

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 10, 2025 5:53 pm
Να βρεθεί ένα σύνολο σημείων του επιπέδου με τον ελάχιστο πλήθος σημείων ώστε για κάθε σημείο του επιπέδου
τουλάχιστον μια από τις αποστάσεις του από τα σημεία του συνόλου δεν είναι ρητός.

.

: απόσταση.png (3.96 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές

.
Θα βρούμε ένα σύνολο με τρία σημεία που κάνει την δουλειά. Υπόψη ότι δεν μπορούμε να βρούμε σύνολο με δύο σημεία διότι αν $\displaystyle{A,B}$ οποιαδήποτε δύο σημεία, παίρνουμε ένα σημείο

της μεσοκαθέτου. Επειδή τα μήκη XA=XB=r

παίρνουν όλες τις τιμές σε ένα διάστημα (από την μικρότερη δυνατή τιμή έως το άπειρο) σίγουρα υπάρχουν θέσεις του

όπου

ρητός.

Τώρα, ισχυρίζομαι ότι τα $A(0,0), B(1,0), C(\sqrt 2,0)$ έχουν την ζητούμενη ιδιότητα, δηλαδή ισχυρίζομαι ότι για οποιοδήποτε X(a,b)

, κάποιος από τους αριθμούς $XA = \sqrt {a^2+b^2} , \, XB= \sqrt {(a-1)^2+b^2} , \, XC= \sqrt {(a-\sqrt 2)^2+b^2}$ είναι άρρητος.

Πράγματι, έστω ότι οι $XA = \sqrt {a^2+b^2} , \, XB= \sqrt {(a-1)^2+b^2}$ είναι ρητοί. Τότε θα είναι ρητοί και οι a^2+b^2

και

. Αφαιρώντας τους δύο έπεται ότι και ο -2a+1

είναι ρητός, οπότε και

ρητός. Αλλά τότε ο

$(a-\sqrt 2)^2+b^2 = (a^2+b^2) +2-2a\sqrt 2=$ (ρητός συν ρητός συν άρρητος) ίσον άρρητος.

Άρα και ο $XC = \sqrt {(a-\sqrt 2)^2+b^2}$ είναι επίσης άρρητος, όπως θέλαμε.

Απόσταση όχι ρητός

Απόσταση όχι ρητός

Re: Απόσταση όχι ρητός

Μέλη σε σύνδεση