Δύναμη πρώτου

#1

Βρείτε όλες τις τριάδες (a, b, c) θετικών ακεραίων έτσι ώστε το γινόμενο
(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a)

να ισούται με τη δύναμη κάποιου πρώτου αριθμού.

#2

Έστω ότι είναι δύναμη του πρώτου

. Τότε κάθε ένα εκ των a+2b,b+2c,c+2a

είναι δύναμη του

. Έστω $k = \min(v_p(a),v_p(b),v_p(c))$ . Δηλαδή ισχύει ότι a = p^ka', b = p^kb', c= p^kc'

με

θετικούς ακεραίους με τουλάχιστον ένα να μην είναι πολλαπλάσιος του

.

Τα

είναι επίσης δυνάμεις του

, και άρα και πολλαπλάσια του

αφού δεν μπορούν να ισούνται με

. Τότε έχω $a' \equiv -2c' \equiv 4b \equiv -8a' \bmod p$ από το οποίο παίρνω p|9a'

. Ομοίως παίρνω p|9b'

και

. Αφού όμως τα a',b',c'

δεν είναι όλα πολλαπλάσια του

τότε πρέπει p=3

.

Με το ίδιο σκεπτικό, αν τα a'+2b',b'+2c',c'+2a'

είναι όλα μεγαλύτερα ή ίσα του

(και άρα πολλαπλάσια του

) θα έχω $a' \equiv -8a' \bmod 27$ . Δηλαδή 3|a'

. Ομοίως παίρνω 3|b'

και

που είναι άτοπο.

Άρα τουλάχιστον ένα εκ των a'+2b',b'+2c',c'+2a'

είναι ίσο με

ή

.

Αν

τότε

και έχω

και

. Τότε $3 = 2 \cdot 3^s - 3^r$ . Εύκολα καταλήγουμε σε r=s=1

και

. Έχουμε λοιπόν την τριάδα (a',b',c') = (1,1,1)

που δίνει ως λύσεις τις τριάδες (a,b,c) = (3^k,3^k,3^k)

με

μη αρνητικό ακέραιο.

Αν a'+2b'=9

τότε έχουμε να εξετάσουμε τις περιπτώσεις $(a',b') \in \{(7,1),(5,2),(3,3),(1,4)\}$ . Οι (5,2)

και

απορρίπτονται αφού τότε το b'+2c'

θα ήταν πολλαπλάσιο του

, άτοπο.

Αν a'=b' = 3

τότε

και

που δίνει $9 = 2 \cdot 3^s - 3^r$ . Καταλήγουμε σε r=s=2

και

που είναι άτοπο. (Αφού ένα εκ των a',b',c'

δεν είναι πολλαπλάσιο του

.)

Αν

τότε

και

που δίνει $27 = 2 \cdot 3^s - 3^r$ . Καταλήγουμε σε r=s=3

και

. Έχουμε λοιπόν την τριάδα (a',b',c') = (7,13,1)

που δίνει ως λύσεις τις τριάδες $(a,b,c) = (7\cdot 3^k,13 \cdot 3^k,3^k)$ με

μη αρνητικό ακέραιο. Μαζί με αυτές έχουμε ασφαλώς και όλες τις κυκλικές μεταθέσεις τους.

Δύναμη πρώτου

Δύναμη πρώτου

Re: Δύναμη πρώτου

Μέλη σε σύνδεση