Μέγιστη διαφορά

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω ακέραιοι $m \geqslant n$ ώστε m^3+n^3+1=4mn

. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του m-n

.

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ · #2

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 08, 2018 8:54 pm
Έστω ακέραιοι $m \geqslant n$ ώστε . Να βρείτε την μέγιστη τιμή του .

Γεια σου Ορέστη!Συγχαρητήρια για την πρόσφατη επιτυχία σου!Λοιπόν ας πάμε τώρα στο πρόβλημα

.
Αν

παίρνουμε

άρα

.Αν

τότε παίρνουμε m=0

που είναι αδύνατο λόγω της διάταξης των m,n

.
1η περίπτωση: m,n>0

:
Έστω $m,n\geq 2$ τότε έχουμε $m^{2}\left ( m-2 \right )+n^{2}\left ( n-2 \right )+1>0\Leftrightarrow m^3+n^3+1>2(m^2+n^2)\geq4mn$ Άτοπο!
Εξετάζοντας τώρα για έστω m=1

ή

τότε παρατηρούμε ότι για κανένα m δεν υπάρχει

που να ικανοποεί την αρχική μας σχέση ομοίως για n=1

ή

.
2η περίπτωση: m,n<0

:
Λαμβάνουμε ότι -m^3-n^3<1

το οποίο είναι αδύνατο.
3η περίπτωση: m>0,n<0

:
θέτουμε n=-l<0

άρα η σχέση γίνεται m^3+4ml+1=l^3

αν τώρα $l-m\geq2$ έχουμε ότι $1\geq (l-m)^2+l^2+m^2$ Άτοπο! Άρα l=m

ή

αντικαθιστώντας τώρα στην αρχική έχουμε ότι κανένα

δεν την ικανοποιεί.Άρα τελικά $(m-n)_{max}=1$ Ελπίζω να μην έχει ξεφύγει κάτι.

Ορέστης Λιγνός · #3

Ανδρέα σε ευχαριστώ πολύ για την λύση σου!

min## · #4

Δε θα πρεπε να βρεθεί το m+l

?
Edit:δε διάβασα τη λύση..

Μέγιστη διαφορά

Μέγιστη διαφορά

Re: Μέγιστη διαφορά

Re: Μέγιστη διαφορά

Re: Μέγιστη διαφορά

Μέλη σε σύνδεση