Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

sokpanvas · #1

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα του αθροίσματος των ψηφίων τους και του γινομένου των ψηφίων τους.
Δηλαδή $\overline{a_1a_2a_3...a_n}=a_1+a_2+...+a_n+a_1a_2...a_n$

#2

Νομίζω δεν είναι τόσο δύσκολη.

Για κάθε τέτοιο αριθμό έχουμε:

$\displaystyle (1-1)a_n + (10-1)a_{n-1} + (100-1)a_{n-2} + \cdots + (10^{n-1}-1) a_1 = a_1a_2 \cdots a_n \leqslant 9^{n-1}a_1$

Όμως για $n \geqslant 2$ έχουμε $10^{n-1}-1 > 9^{n-1}$ , άτοπο. (Υποθέτουμε ότι $a_1 \neq 0$ .)

Πρέπει λοιπόν n=1

ή

. Για

θέλουμε

που απορρίπτεται αφού $a_1 \neq 0$ . Για n=2

θέλουμε

οπότε πρέπει a_2 = 9

.

Δηλαδή οι μόνοι αριθμοί που ικανοποιούν το ζητούμενο είναι οι $19,29,\ldots,99$ .

sokpanvas · #3

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2018 5:26 pm
Νομίζω δεν είναι τόσο δύσκολη.

Ίσως ταιριάζει πιο πολύ σε juniors...

Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

Re: Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

Re: Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

Μέλη σε σύνδεση