Ομοκυκλικά σημεία

#1

Έστω ισοσκελές τρίγωνο $\triangle ABC$ με AB=AC.

Στην προέκταση της πλευράς

θεωρούμε σημείο

τέτοιο ώστε AD<AC.

Η μεσοκάθετος του τμήματος

τέμνει την εσωτερική και την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας $B\widehat{A}C$ στα σημεία

και

, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία A,E,D,Z

είναι ομοκυκλικά.

#2

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:32 pm
Έστω ισοσκελές τρίγωνο $\triangle ABC$ με Στην προέκταση της πλευράς θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε Η μεσοκάθετος του τμήματος τέμνει την εσωτερική και την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας $B\widehat{A}C$ στα σημεία και , αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

: OMOKYKLIKA.png (32.73 KiB) Προβλήθηκε 2396 φορές

Έστω

η εσωτερική διχοτόμος του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC$ , οπότε θα είναι και ύψος και διάμεσος , άρα

το μέσο της

και $\angle BMA={{90}^{0}}$ . Αν $N\equiv BD\cap ZE$ τότε με

μεσοκάθετη της

θα είναι

το μέσο της

, $\angle BNE={{90}^{0}}$ και το τετράπλευρο ZDEB

θα είναι «χαρταετός», άρα $\angle DEB=2\left( \angle DEZ \right):\left( 1 \right)$ και φυσικά (από την εξωτερική διχοτόμο $AZ\Rightarrow \angle DAB=2\left( DAZ \right):\left( 2 \right)$

Με $\angle BNE=\angle BME={{90}^{0}}\Rightarrow NEMB$ εγγράψιμο σε κύκλο , οπότε $\angle BEM=\angle BNM:\left( 3 \right)$

Στο τρίγωνο $\vartriangle BDC$ το τμήμα

συνδέει τα μέσα των πλευρών του BC,BD

άρα $NM\parallel DC\Rightarrow \angle BNM=\angle BDC\equiv \angle BDA\overset{\left( 3 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle BEM\equiv \angle BDA\Rightarrow B,D,A,E$ είναι ομοκυκλικά , άρα $\angle DAB=\angle DEB\overset{\left( 1 \right),\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle DAZ=\angle DEZ\Rightarrow D,A,E,Z$ .

Από τις ομοκυκλικές τετράδες B,D,A,E

και

με τρία κοινά σημεία $\left( D,A,E \right)$ προκύπτει ότι D,A,E,B,Z

είναι ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Henri van Aubel · #3

Υπάρχει και απάντηση μιας γραμμής. Το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου DBC

οπότε $\displaystyle \angle DEZ=\frac{\angle DEB}{2}=\angle ACB=90^\circ-\frac{\angle BAC}{2}=\angle DAZ$ οπότε AEZD

εγγράψιμο κλπ

S.E.Louridas · #4

Για ένα γεια στον φίλο Στάθη και μόνο για λόγους πολυφωνίας μετά από τις άριστες παρεμβάσεις που προηγήθηκαν.
Θεωρώ ότι στο σχήμα που ακολουθεί υπάρχει η λύση, επειδή θεωρήσαμε $NK\parallel ZA,$ οπότε $\angle DKN = \angle C=\angle NMK = \angle NEB = \angle DEN,$ άρα τα σημεία D, N, E, K

θα είναι ομοκυκλικά δηλαδή και τα D, Z, E, A

αφού $\angle EDA = \angle ENK = \angle EZA.$

: geogebra-export.png (226.49 KiB) Προβλήθηκε 2067 φορές

Ομοκυκλικά σημεία

Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Μέλη σε σύνδεση