Κι άλλα διανύσματα

Lymperis Karras · #1

Καταρχάς, παρατηρώ ότι οι τελευταίες 6 δημοσιεύσεις στο συγκεκριμένο Θέμα (Προχωρημένη Γεωμετρία) είναι όλες δικές μου. Εν όψει Αρχιμήδη καλό δεν θα ήταν να τεθούν περισσότερα θέματα στην κατηγορία και από άλλους χρήστες εκτός από εμένα; Μου αρέσει αρκετά που τίθενται περισσότερα θέματα σιγά σιγά στην Προχωρημένη Άλγεβρα και νομίζω πως θα ήταν καλό και για την Γεωμετρία, η οποία αποδεδειγμένα δυσκολεύει περισσότερο τους μαθητές, και για αυτό χρειάζεται περισσότερη και ποιοτικότερη προετοιμασία.

Εν πάσει περιπτώσει, ορίστε το πρόβλημα:

Έστω τρίγωνο ABC

. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

για τα οποία είναι

$\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=\left | 3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |$

#2

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 2:22 pm
Καταρχάς, παρατηρώ ότι οι τελευταίες 6 δημοσιεύσεις στο συγκεκριμένο Θέμα (Προχωρημένη Γεωμετρία) είναι όλες δικές μου. Εν όψει Αρχιμήδη καλό δεν θα ήταν να τεθούν περισσότερα θέματα στην κατηγορία και από άλλους χρήστες εκτός από εμένα; Μου αρέσει αρκετά που τίθενται περισσότερα θέματα σιγά σιγά στην Προχωρημένη Άλγεβρα και νομίζω πως θα ήταν καλό και για την Γεωμετρία, η οποία αποδεδειγμένα δυσκολεύει περισσότερο τους μαθητές, και για αυτό χρειάζεται περισσότερη και ποιοτικότερη προετοιμασία.

Εν πάσει περιπτώσει, ορίστε το πρόβλημα:

Έστω τρίγωνο . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία είναι

$\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=\left | 3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |$

$\displaystyle \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$ όπου

το βαρύκεντρο του τριγώνου. Η δοθείσα λοιπόν σχέση γράφεται:

: Διανύσματα.Λ.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

$\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3}} \right|.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3} = \overrightarrow {MP} ,$ όπου

σημείο της

ώστε

Άρα, $\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {PA} } \right|=r,$ που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος (G,r).

Lymperis Karras · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 6:11 pm

$\displaystyle \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$ όπου το βαρύκεντρο του τριγώνου. Η δοθείσα λοιπόν σχέση γράφεται: Διανύσματα.Λ.png
$\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3}} \right|.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3} = \overrightarrow {MP} ,$ όπου σημείο της ώστε

Άρα, $\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {PA} } \right|=r,$ που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος

Πώς αποδεικνύεται όμως ότι $\displaystyle \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$ όπου

το βαρύκεντρο του τριγώνου. ???

Τσιαλας Νικολαος · #4

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 6:23 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 6:11 pm

$\displaystyle \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$ όπου το βαρύκεντρο του τριγώνου. Η δοθείσα λοιπόν σχέση γράφεται: Διανύσματα.Λ.png
$\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3}} \right|.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{{2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }}{3} = \overrightarrow {MP} ,$ όπου σημείο της ώστε

Άρα, $\displaystyle \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {PA} } \right|=r,$ που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος

Πώς αποδεικνύεται όμως ότι $\displaystyle \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$ όπου το βαρύκεντρο του τριγώνου. ???

Λυμπέρη η σχέση αυτή είναι πασίγνωστη! Μην κοιτάς που εμείς στην Ελλάδα την έχουμε "εκτός ύλης". Κοίταξε την εφαρμογή στην σελίδα 25 του σχολικού βιβλίου!

Κι άλλα διανύσματα

Κι άλλα διανύσματα

Re: Κι άλλα διανύσματα

Re: Κι άλλα διανύσματα

Re: Κι άλλα διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση