Εντυπωσιακή συνευθειακότητα

KARKAR · #1

: Ισοσκελές σε κύκλο.png (15.35 KiB) Προβλήθηκε 1369 φορές

Ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με AB=AC

, είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο

. Από σημείο

της προέκτασης της

, φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

( το

μεταξύ των A,C

)

και γράφουμε τον κύκλο που ορίζουν τα σημεία A,T,O

, ο οποίος τέμνει τις AB, AC

στα σημεία P,Q

αντίστοιχα . Δείξτε ότι η ευθεία

διέρχεται από το σημείο

.

Grigoris K. · #2

Καλησπέρα κ. Θανάση.

Παρατηρούμε ότι $\angle PAO = \angle QAO\implies \tau o \xi. PO =\tau o \xi. OQ$ και $OA = OT \implies \tau o \xi. OA = \tau o \xi. OT$ .

Άρα $\tau o \xi. AP = \tau o \xi. TQ \implies \angle PQA = \angle TAQ$ . Επίσης λόγω εφαπτομένης ισχύει $\angle TAQ = \angle CTS$

άρα $\angle PQA = \angle CTS$ . Έπειτα παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \angle QTS = 90^o - \angle OTQ = 90^o - \frac{\angle A}{2} = \angle C}$ .

Άρα το CQTS

είναι εγγράψιμο και ισχύει $\angle CTS = \angle CQS$ .

Συνεπώς $\angle PQA = \angle CQS$ , δηλαδή τα σημεία P,Q,S

είναι συνευθειακά.

KARKAR · #3

Καλώς τον τον Γρηγόρη , που όπως παλιότερα έτσι και τώρα ξέρει να ξεκλειδώνει

τις δύσκολες ασκήσεις . Γρηγόρη σε ποιο στάδιο βρίσκονται οι σπουδές σου ;

: Ισοσκελές σε κύκλο.png (29.09 KiB) Προβλήθηκε 1286 φορές

#4

Παρεμφερές.

Ας είναι

το μέσο του

και

το κέντρο του κύκλου (A,O,T)

$\widehat {{\omega _1}} = \widehat \omega$ γιατί τα σημεία O,M,S,T

ομοκυκλικά και $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}$ γιατί βαίνουν στο ίδιο

τόξο στο μικρό κύκλο ,άρα $\boxed{\widehat {{\omega _2}} = \widehat \omega }$ που μας εξασφαλίζουν ότι και τα σημεία

T,Q,C,S

είναι ομοκυκλικά με άμεση συνέπεια : $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ αλλά $\widehat \theta = \widehat {{\theta _2}}$ ( χορδή κι

Εφαπτομένη) άρα $\boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat \theta }$ που μας εξασφαλίζει ότι $\boxed{\boxed{QS//AT}}\,\,\,(1)$

: Εντυπωσιακή συνευθειακότητα.png (44.08 KiB) Προβλήθηκε 1260 φορές

Από την άλλη μεριά Επειδή $OP = OQ \Rightarrow OK \bot PQ$ άλλα $OK \bot AT$ ( διάκεντρος

σε κοινή χορδή ) άρα $\boxed{\boxed{PQ//AT}}\,\,(2)$ .Εξ αιτίας των $(1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(2)$ και από το

Ευκλείδειο αίτημα αναγκαστικά τα σημεία P,Q,S

ανήκουν σε μια ευθεία.

#5

Καλημέρα σε όλους!

Κάποιες επιπλέον παρατηρήσεις επί του σχήματος:

● $\displaystyle{AP = QT = QC},$ AQ=PB

● Το

είναι εγγράψιμο.

Εντυπωσιακή συνευθειακότητα

Εντυπωσιακή συνευθειακότητα

Re: Εντυπωσιακή συνευθειακότητα

Re: Εντυπωσιακή συνευθειακότητα

Re: Εντυπωσιακή συνευθειακότητα

Re: Εντυπωσιακή συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση