Τρίγωνο-93.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (9.71 KiB) Προβλήθηκε 881 φορές

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 02, 2018 7:49 pm
1.png

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Με τριγωνομετρικό Ceva.

$\displaystyle \frac{{\sin \theta }}{{\sin ({{50}^0} - \theta )}} \cdot \frac{{\sin {{70}^0}}}{{\sin {{40}^0}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sin \theta }}{{\sin ({{50}^0} - \theta )}} \cdot \frac{{\sin {{70}^0}}}{{\sin {{140}^0}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sin \theta }}{{2\sin ({{50}^0} - \theta )\cos {{70}^0}}} = 1 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \sin \theta = 2\sin ({50^0} - \theta )\sin {20^0} = \cos ({30^0} - \theta ) - \cos ({70^0} - \theta ) \Leftrightarrow$

$\displaystyle \sin \theta = \cos {30^0}\cos \theta + \sin {30^0}\sin \theta - \cos {70^0}\cos \theta - \sin {70^0}\sin \theta \Leftrightarrow$

$\displaystyle (\sin {70^0} + \sin {30^0})\sin \theta = (\cos {30^0} - \cos {70^0})\cos \theta \Leftrightarrow \tan \theta = \frac{{2\sin {{20}^0}\sin {{50}^0}}}{{2\sin {{50}^0}\cos {{20}^0}}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tan \theta = \tan {20^0}$ κι επειδή η γωνία $\theta$ είναι οξεία, θα είναι : $\boxed{\theta=20^0}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 02, 2018 7:49 pm
1.png

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Θεωρούμε το ισόπλευρο $\displaystyle \vartriangle BEC$ που το ύψος του από το $\displaystyle E$ τέμνει την $\displaystyle BA$ στο $\displaystyle L$

Ακόμη,έστω $\displaystyle CZ \bot BL$ .Επειδή $\displaystyle AC$ διχοτόμος της $\displaystyle \angle ZAP$ θα είναι $\displaystyle ZC = PC$ οπότε

τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle ZLC,CDP$ είναι ίσα, άρα $\displaystyle DC = LC = LB$

Τότε όμως $\displaystyle \vartriangle ELB = \vartriangle DCB(\Pi - \Gamma - \Pi ) \Rightarrow \angle DBC = \angle BEL = {30^0} \Rightarrow \boxed{\angle ABD = {{20}^0}}$

: T93.png (71.17 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 02, 2018 7:49 pm
1.png

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Αν η μεσοκάθετος στην

κόψει την

στο

, γράφω το κύκλο , (K,KA)

που τέμνει ακόμα την ευθεία

στο

. Προφανώς $AD \bot BC$ .

Επειδή $\widehat {EAK} = 70^\circ - 10^\circ = 60^\circ$ το τρίγωνο AEK

είναι ισόπλευρο με άμεση συνέπεια $\widehat {ACE} = 30^\circ$ .

Οπότε το $\vartriangle CDE$ είναι ισοσκελές και η

μεσοκάθετος στο

. Αυτό πάλι μας εξασφαλίζει ότι και το $\vartriangle DEZ$ είναι ισόπλευρο και $\widehat \phi = 30^\circ$ .

: τρίγωνο 93_2.png (62.18 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Τώρα το τετράπλευρο ADZK

είναι ισοσκελές τραπέζιο και έτσι $\widehat {DKZ} = \widehat \omega = \widehat {BAE} = 40^\circ$ , δηλαδή και η

μεσοκάθετος στην

.

Αναγκαστικά θα είναι το τετράπλευρο BEZD

ρόμβος με γωνίες $60^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,120^\circ$ οπότε $\boxed{\widehat \theta = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ }$

Τρίγωνο-93.

Τρίγωνο-93.

Re: Τρίγωνο-93.

Re: Τρίγωνο-93.

Re: Τρίγωνο-93.

Μέλη σε σύνδεση