Ίσες εξ ίσων

KARKAR · #1

: Ίσες εξ ίσων.png (13.95 KiB) Προβλήθηκε 1320 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το

είναι ύψος και τα M,N

μέσα των πλευρών BC,AC

αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο SMN

, ίσο προς το DMN , (ND=NS)

. Δείξτε ότι : $\widehat{SAC}=\widehat{BAD}$

#2

KARKAR έγραψε:Ίσες εξ ίσων.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το είναι ύψος και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα .Σχεδιάζω τρίγωνο , ίσο προς το . Δείξτε ότι : $\widehat{SAC}=\widehat{BAD}$

$CN = NA = DN = NS \Rightarrow \boxed{\angle ASC = {{90}^0}}:\left( 1 \right)$ και $\vartriangle NSM = \vartriangle NDM \Rightarrow \angle NSM =$

$\angle NDM = \angle NCM \Rightarrow MNCS$ εγγράψιμο σε κύκλο, οπότε: $\angle NMC = \angle NSC\mathop = \limits^{NS = NC} \angle NCS \equiv \angle ACS$

$\mathop \Rightarrow \limits^{MN\parallel AB \Rightarrow \angle NMC = \angle B} \angle B = \angle ACS\mathop \Rightarrow \limits^{\angle ADB = \angle ASC = {{90}^0}}$ $\vartriangle ADB \sim \vartriangle ASC \Rightarrow \boxed{\angle BAD = \angle CAS}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το είναι ύψος και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο , ίσο προς το . Δείξτε ότι : $\widehat{SAC}=\widehat{BAD}$

Καλημέρα!

: Ίσες-εξ-ίσων.png (31.42 KiB) Προβλήθηκε 1297 φορές

Από τις ίσες «μπλε» γωνίες το NCSM

καθίσταται εγγράψιμο.

Από το ισοσκελές $\triangleleft NAS$ , την ορθή γωνία ASC

και την παραλληλία των NM,AB

η απόδειξη ολοκληρώνεται.

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το είναι ύψος και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο , ίσο προς το . Δείξτε ότι : $\widehat{SAC}=\widehat{BAD}$

Ακόμα μία…μια που η προηγούμενη ήταν σχεδόν ίδια με του φίλου Στάθη!

: Ίσες-εξ-ίσων_2.png (31.74 KiB) Προβλήθηκε 1284 φορές

Αν $K \equiv SD \cap AB$ , τότε $SK \bot AB$ από $NM \bot SD$ και $NM\parallel AB$

Λόγω και του εγγράψιμου ACSD

, θα είναι $\omega = \varphi$ σαν οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες.

#5

KARKAR έγραψε:Ίσες εξ ίσων.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το είναι ύψος και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο , ίσο προς το . Δείξτε ότι : $\widehat{SAC}=\widehat{BAD}$

Καλημέρα στους κ.κ. Θανάση , Στάθη και Μιχάλη , Καλημέρα σε όλους .

Μάλλον ανακάτεψα πολλά. Ας είναι .

Επειδή ND = NS = NA = NC

το τετράπλευρο ADSC

είναι εγγράψιμο σε ημικύκλιο

διαμέτρου

.

Τώρα όμως τα τρίγωνα $\vartriangle MDS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle NAS$ είναι ισοσκελή και όμοια .

Έστω

το μέσο του

. Το τετράπλευρο DMNE

είναι ισοσκελές τραπέζιο

( γνωστή ασκησούλα του σχολικού αλλά και σε όλα τα βιβλία γεωμετρίας)

: ϊσες εξ ίσων.png (41.79 KiB) Προβλήθηκε 1277 φορές

Επειδή $\widehat {AED} = 2\widehat B\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat \omega \, + \widehat \theta = \widehat B$

ως απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου BMNE

θα είναι και τα ισοσκελή

$\vartriangle AED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ANS$ όμοια , οπότε $\vartriangle AED \simeq \vartriangle SMD \Rightarrow \boxed{\widehat {BAD} = \widehat {SDM} = \widehat {SAC}}$

Να σημειωθεί ότι η

διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του $\vartriangle ABC$

Φιλικά

Νίκος

#6

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το είναι ύψος και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο , ίσο προς το . Δείξτε ότι : $\widehat{SAC}=\widehat{BAD}$
Ακόμα μία…μια που η προηγούμενη ήταν σχεδόν ίδια με του φίλου Στάθη!Ίσες-εξ-ίσων_2.png
Αν $K \equiv SD \cap AB$ , τότε $SK \bot AB$ από $NM \bot SD$ και $NM\parallel AB$

Λόγω και του εγγράψιμου , θα είναι $\omega = \varphi$ σαν οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε:Ίσες εξ ίσων.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το είναι ύψος και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο , ίσο προς το . Δείξτε ότι : $\widehat{SAC}=\widehat{BAD}$

Καλημέρα....

Με $\displaystyle{E}$ μέσον της $\displaystyle{AB}$ $\displaystyle{ \Rightarrow ENMD}$ ισοσκελές τραπέζιο και $\displaystyle{ANME}$ παραλ/μμο.Άρα $\displaystyle{EM = ND = NS = NA}$ και $\displaystyle{\angle AEM = \angle ANM}$

Ακόμη,από την ισότητα (Π-Π-Π) των $\displaystyle{\vartriangle EDM,NMS}$ οι μπλε γωνίες είναι ίσες

Έτσι τα ισοσκελή τρίγωνα $\displaystyle{AED,ANS}$ έχουν $\displaystyle{\angle DEA = \angle ANS \Rightarrow \boxed{\angle x = \angle y}}$

: iei.png (23.4 KiB) Προβλήθηκε 1272 φορές

Νίκο τώρα είδα τη λύση σου σχεδόν ίδια με τη δική μου.Την αφήνω..

Ιστοσελίδα · #8

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το είναι ύψος και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο , ίσο προς το . Δείξτε ότι : $\widehat{SAC}=\widehat{BAD}$

Με δεδομένα τα εγγράψιμα $NCSM,\,ACSD$ …

: Ίσες-εξ-ίσων_3.png (36.07 KiB) Προβλήθηκε 1254 φορές

$B\widehat AD + \varphi + \omega = \varphi + 2\omega \Leftrightarrow B\widehat AD = \omega$

#9

Σύντομα γιατί πρέπει να φύγω για Άγιο Νικόλαο.

Γράφουμε τον κύκλο (A,B,C)

που η

τον τέμνει στο

.

Επειδή NA = ND = NS = NC

το τετράπλευρο ADSC

είναι εγγράψιμο .

Αφού τώρα $\widehat \omega = \widehat \phi \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega = \widehat \theta \Rightarrow \widehat \theta = \widehat \phi \Rightarrow BZ//DS \Rightarrow NM \bot BZ$ .

: Εξ ίσων ίσα_3.png (35.07 KiB) Προβλήθηκε 1248 φορές

Αν

το σημείο τομής των $NM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BZ$ στο τετράπλευρο NTZC

θα είναι

$\widehat {TBC} + \widehat {TZC} = \widehat {BAC} + \widehat {TZC} = 180^\circ$ και άρα $\widehat {ACZ} = 90^\circ$ .

Δηλαδή η

διάμετρος του κύκλου (A,B,C)

και το ζητούμενο φανερό .

Φιλικά

Νίκος

Ίσες εξ ίσων

Ίσες εξ ίσων

Re: Ίσες εξ ίσων

Re: Ίσες εξ ίσων

Re: Ίσες εξ ίσων

Re: Ίσες εξ ίσων

Re: Ίσες εξ ίσων

Re: Ίσες εξ ίσων

Re: Ίσες εξ ίσων

Re: Ίσες εξ ίσων

Μέλη σε σύνδεση