Ανισότητα

#1

Οι πραγματικοί αριθμοί

και

ικανοποιούν τη σχέση x^2 + y^2 - 1 < xy

. Να αποδείξετε ότι x + y - |x - y| < 2

.

abfx · #2

socrates έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 24, 2025 12:01 am
Οι πραγματικοί αριθμοί και ικανοποιούν τη σχέση . Να αποδείξετε ότι .

Η ζητούμενη είναι ισοδύναμη με $\min \{x,y\}<1$ , αφού ισχύει $\displaystyle \frac{x + y - |x - y|}{2}=\min \{x,y\}\text{ }(*)$ .

Το πάμε με άτοπο. Έστω ότι $\min \{x,y\}\geq 1$ δηλαδή $x\geq 1$ και $y\geq 1$ .

Τότε, $x^2 + y^2 - 1 \geq 2xy-1=xy +(xy-1)\geq xy$ που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης.

Σημείωση: Η σχέση (*)

μπορεί να δειχθεί θεωρώντας περιπτώσεις. Μπορεί να ερμηνευθεί ως εξής:
Το ελάχιστο των

και

ισούται με το "μέσον" τους μείον το μισό της απόστασής τους.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση