Ίσα γινόμενα σε πίνακα

Al.Koutsouridis · #1

Σε κάθε κελί ενός $4 \times 4$ πίνακα είναι γραμμένος ένας αριθμός, εξάλλου κάθε αριθμός είναι ίσος με το γινόμενο όλων των αριθμών που βρίσκονται σε γειτονικά κατά πλευρά κελιά. Ποιό μπορεί να είναι το μέγιστο πλήθος διαφορετικών αριθμών σε αυτό το πίνακα;

#2

Δεν έχω κάποια «όμορφη» λύση. Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει ότι μπορούμε να πετύχουμε τουλάχιστον

διαφορετικούς αριθμούς.

$\displaystyle \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline 6 & 2 & -2 & 6 \\ \hline 3 & -1/6 & -1/6 & -3 \\ \hline -3 & 1/6 & 1/6 & 3 \\ \hline -6 & 2 & -2 & -6 \\ \hline \end{tabular}$

Θα δείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερους. Γενικά ας υποθέσουμε ότι έχουμε τον πίνακα

$\displaystyle \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline a & b & c & d \\ \hline e & f & g & h \\ \hline i & j & k & \ell \\ \hline m & n & o & p \\ \hline \end{tabular}$

Αν υποθέσουμε ότι κάποιο είναι ίσο με

, τότε είναι όλα

, άτοπο. Αλλιώς, έχουμε τα εξής:

$\displaystyle a = be \implies e = \frac{a}{b}$
$\displaystyle b = afc \implies f = \frac{b}{ac}$
$\displaystyle g = \frac{c}{bd}$ και $\displaystyle h = \frac{d}{c}$ από συμμετρία.
$\displaystyle e = afi \implies i = \frac{e}{af} = \frac{ac}{b^2}$
$\displaystyle f = begj \implies j = \frac{f}{beg} = \frac{b^2d}{a^2c^2}$
$\displaystyle k =\frac{c^2a}{d^2b^2}$ και $\displaystyle \ell = \frac{bd}{c^2}$ από συμμετρία.
$\displaystyle i = ejm \implies m= \frac{i}{ej} =\frac{a^2c^3}{b^3d}$
$\displaystyle j = fikn \implies n= \frac{j}{fik} =\frac{b^5d^3}{a^3c^4}$
$\displaystyle o =\frac{c^5a^3}{d^3b^4}$ και $\displaystyle p = \frac{d^2b^3}{c^3a}$ από συμμετρία.

Επειδή όμως m = in

έχουμε $\displaystyle \frac{a^2c^3}{b^3d} = \frac{b^3d^3}{a^2c^3} \implies (a/d)^4 = (b/c)^6$
Επίσης, n = mjo

οπότε έχουμε $\displaystyle \frac{b^5d^3}{a^3c^4} =\frac{a^3c^6}{b^5d^3} \implies (a/d)^6 = (b/c)^{10}$

Άρα $\displaystyle (b/c)^{18} = (a/d)^{12} = (b/c)^{20}$ που δίνει (b/c)^2 = 1

και $c = \pm b$ . Ομοίως $d = \pm a$ . Από τα πιο πάνω ο πίνακας γίνεται:

$\displaystyle \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline a & b & \pm b & \pm a \\ \hline \pm a/b & \pm 1/a & \pm 1/a & \pm a/b \\ \hline \pm a/b & \pm 1/a & \pm 1/a & \pm a/b \\ \hline \pm a & \pm b & \pm b & \pm a \\ \hline \end{tabular}$

Παρατηρούμε ότι πράγματι έχουμε το πολύ

διαφορετικούς αριθμούς. Τους $\pm a, \pm b, \pm a/b, \pm 1/a$ .

Ίσα γινόμενα σε πίνακα

Ίσα γινόμενα σε πίνακα

Re: Ίσα γινόμενα σε πίνακα

Μέλη σε σύνδεση