Σύστημα με παράμετρο

#1

Για ποιες τιμές της πραγματικής παραμέτρου

έχει το σύστημα εξισώσεων
$\displaystyle{\begin{cases} |x + 6| + 2|y| = 24, \\ |x + y|+|x − y| = 2k \end{cases}}$
περιττό αριθμό λύσεων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών;

vgreco · #2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 31, 2022 4:35 pm
Για ποιες τιμές της πραγματικής παραμέτρου έχει το σύστημα εξισώσεων
$\displaystyle{\begin{cases} |x + 6| + 2|y| = 24, \quad \quad (1) \\ |x + y|+|x - y| = 2k \;\;\;\, (2) \end{cases}}$
περιττό αριθμό λύσεων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών;

H γραφική παράσταση της πρώτης εξίσωσης είναι προφανώς συμμετρική ως προς τον άξονα x'x

, άρα αν το τετράγωνο κέντρου O(0, 0)

και πλευράς

(δεύτερη εξίσωση) την τέμνει, έστω σε σημείο A(m, n)

, θα την τέμνει επίσης και σε σημείο A'(m, -n)

(όπου $n \neq 0$ ),
συνολικά, δηλαδή σε ζυγό πλήθος σημείων. Οπότε το σύστημα θα έχει άρτιο πλήθος λύσεων.

Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση που η (2)

τέμνει την (1)

σε σημείο του οριζόντιου άξονα.

Για y=0

, η

γίνεται $|x + 6| = 24 \Leftrightarrow x=18 \; \lor \; x = -30$ και επομένως τέμνει τον x'x

στα σημεία (-30, 0)

και

.

Διακρίνω δύο περιπτώσεις:

$\dfrac{2k}{2} = |18| \Leftrightarrow k = 18$ , απ' όπου αντικαθιστώντας παίρνω τρία ζεύγη λύσεων: , , .

$\dfrac{2k}{2} = |-30| \Leftrightarrow k = 30$ , απ' όπου αντικαθιστώντας βρίσκω τη μοναδική λύση .

Τελικά, $\boxed{k \in \{18, 30\}}$ .

Και το σχήμα (δείχνει τα σημεία τομής για k=18

):

: Σύστημα_με_παράμετρο.png (79.74 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές

#3

vgreco έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 03, 2022 7:54 am

socrates έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 31, 2022 4:35 pm
Για ποιες τιμές της πραγματικής παραμέτρου έχει το σύστημα εξισώσεων
$\displaystyle{\begin{cases} |x + 6| + 2|y| = 24, \quad \quad (1) \\ |x + y|+|x - y| = 2k \;\;\;\, (2) \end{cases}}$
περιττό αριθμό λύσεων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών;
H γραφική παράσταση της πρώτης εξίσωσης είναι προφανώς συμμετρική ως προς τον άξονα , άρα αν το τετράγωνο κέντρου
και πλευράς (δεύτερη εξίσωση) την τέμνει, έστω σε σημείο , θα την τέμνει επίσης και σε σημείο (όπου $n \neq 0$ ),
συνολικά, δηλαδή σε ζυγό πλήθος σημείων. Οπότε το σύστημα θα έχει άρτιο πλήθος λύσεων.

Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση που η τέμνει την σε σημείο του οριζόντιου άξονα.

Για , η γίνεται $|x + 6| = 24 \Leftrightarrow x=18 \; \lor \; x = -30$ και επομένως τέμνει τον στα σημεία και .

Διακρίνω δύο περιπτώσεις:

$\dfrac{2k}{2} = |18| \Leftrightarrow k = 18$ , απ' όπου αντικαθιστώντας παίρνω τρία ζεύγη λύσεων: , , .

$\dfrac{2k}{2} = |-30| \Leftrightarrow k = 30$ , απ' όπου αντικαθιστώντας βρίσκω τη μοναδική λύση .
Τελικά, $\boxed{k \in \{18, 30\}}$ .

Και το σχήμα (δείχνει τα σημεία τομής για ):

Σύστημα_με_παράμετρο.png

Ωραία πράγματα !

#4

Πολύ ωραία!

Η γεωμετρική ματιά βοηθάει πολύ εδώ...

Σχετικό θέμα:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 19&t=35229

Σύστημα με παράμετρο

Σύστημα με παράμετρο

Re: Σύστημα με παράμετρο

Re: Σύστημα με παράμετρο

Re: Σύστημα με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση