Ισότητα συντελεστών

#1

Αν $n\in \mathbb N$ και έχουμε το ανάπτυγμα $\displaystyle{(1+x+x^2)^n = a_0+a_1x+a_2x^2+...+ a_{2n}x^{2n}}$ , δείξτε ότι $\displaystyle{a_0^2-a_1^2+a_2^2-...+a_{2n}^2=a_n}$ .

Επίσης να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{a_0+a_2+a_4+...+a_{2n}}$ .

JimNt. · #2

Για το

που είναι πολύ εύκολο: Έχουμε P(x)=(x^2+x+1)^n

. Είναι $P(1)=a_0+a_1+...+a_{2n}=3^n$ (1)

και $P(-1)=a_0-a_1+a_2-...-a_{2n-1}+a_{2n}=1$ (2)

$\Rightarrow$ $2(a_0+a_2+...+a_{2n})=3^n+1$ $\Leftrightarrow$ $a_0+a_2+...+a_{2n}=\boxed{\frac{3^n+1}{2}}$ . (Το πρώτο νομίζω απαιτεί μόνο συνδυαστική και είναι υπερβολικά χρονοβόρο. (Βρίσκουμε τον κάθε συντελεστή ξεχωριστά))

#3

JimNt. έγραψε:Για το που είναι πολύ εύκολο: Έχουμε . Είναι $P(1)=a_0+a_1+...+a_{2n}=3^n$ και $P(-1)=a_0-a_1+a_2-...-a_{2n-1}+a_{2n}=1$ $\Rightarrow$ $2(a_0+a_2+...+a_{2n})=3^n+1$ $\Leftrightarrow$ $a_0+a_2+...+a_{2n}=\boxed{\frac{3^n+1}{2}}$ .

JimNt. έγραψε:(Το πρώτο νομίζω απαιτεί μόνο συνδυαστική και είναι υπερβολικά χρονοβόρο. (Βρίσκουμε τον κάθε συντελεστή ξεχωριστά))

Όχι δεν θέλει καθόλου συνδυαστική και δεν βρίσκουμε τον κάθε συντελεστή ξεχωριστά.

Δεν είναι δύσκολη άσκηση. Λύνεται με γνώσεις Γυμνασίου (μόνο πολυώνυμα).

#4

Θα υπολογίσουμε τον συντελεστή του $x^{2n}$ στο ανάπτυγμα (1+x+x^2)^n(1-x+x^2)^n

.

Είναι

$\displaystyle{(1+x+x^2)^n(1-x+x^2)^n = (a_0 + a_1x + \cdots + a_{2n}x^{2n})(a_0 - a_1x + \cdots + a_{2n}x^{2n})}$

οπότε ο συντελεστής του $x^{2n}$ ισούται με $\displaystyle{ a_0a_{2n} - a_1a_{2n-1} + \cdots + a_{2n}a_0.}$ Από συμμετρία όμως έχουμε $a_0 = a_{2n},a_1=a_{2n-1}$ κ.τ.λ. Άρα ο συντελεστής του $x^{2n}$ ισούται με $a_0^2 - a_1^2 + \cdots + a_{2n}^2$ .

Επίσης,

$\displaystyle{(1+x+x^2)^n(1-x+x^2)^n = (1+x^2+x^4)^n = a_0 + a_1x^2 + \cdots + a_{2n}x^{4n}}$

οπότε ο συντελεστής του $x^{2n}$ ισούται με a_n

.

Ισότητα συντελεστών

Ισότητα συντελεστών

Re: Ισότητα συντελεστών

Re: Ισότητα συντελεστών

Re: Ισότητα συντελεστών

Μέλη σε σύνδεση