Μέγιστο-ελάχιστο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Προσπαθώντας να λύσω ένα πρόβλημα στο forum έπεσα σε αυτό.

Εστω $0< x_{1}< x_{2}< ....<x_{n}$ .

Σχηματίζουμε τους αριθμούς

$a_{ij}=\frac{x_{i}}{x_{j}}+\frac{x_{j}}{x_{i}}$ όπου $1\leq i,j\leq n$

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος και ο μικρότερος από αυτούς

Al.Koutsouridis · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Προσπαθώντας να λύσω ένα πρόβλημα στο forum έπεσα σε αυτό.

Εστω $0< x_{1}< x_{2}< ....<x_{n}$ .

Σχηματίζουμε τους αριθμούς

$a_{ij}=\frac{x_{i}}{x_{j}}+\frac{x_{j}}{x_{i}}$ όπου $1\leq i,j\leq n$

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος και ο μικρότερος από αυτούς

Καλησπέρα,

Θα εξετάσουμε την συνάρτηση $f(x) = x+\dfrac{1}{x}$ στο διάστημα $(1, +\infty)$ όπου και θα δείξουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα. Πράγματι για x > y > 1

έχουμε

, αφού

$x+\dfrac{1}{x} -y-\dfrac{1}{y} = x-y +\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y} = x-y - \dfrac{x-y}{xy} =(x-y)(1-\dfrac{1}{xy})= \dfrac{(x-y)(xy-1)}{xy} > 0$

Ομοίως για

στο διάστημα (0,1)

μπορούμε να δείξουμε ότι η f(x)

είναι γνησίως φθείνουσα. Επίσης παρατηρούμε ότι η τιμή της συνάρτησης είναι ίδια

και $\dfrac{1}{x}$ .

Οπότε το μέγιστο θα επιτυγχάνεται όταν o λόγος $\dfrac{x_{i}}{x_{j}}$ γίνει μέγιστος, δηλαδή όταν i=n, j=1

ή ελάχιστος για i=1 , j=n

.

Για το ελάχιστο από την γνωστή ανισότητα $x+\dfrac{1}{x} \geq 2$ , βρίσκουμε ότι είναι

και επιτυγχάνεται για i=j

.

#3

Ένας διαφορετικός τρόπος για τη μέγιστη τιμή:

Ας θέσουμε $f(a,b)=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ .

Εάν a<c<b

, τότε

αφού

$\displaystyle{f(a,b)-f(b,c)=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)-\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)=\dfrac{(a-c)(ac-b^2)}{abc}>0}$

Συνεπώς, εάν 1<k<n

, τότε έχουμε

$a_{1n}=f(x_1,x_n)>f(x_1,x_k)\geq f(x_i, x_k)=a_{ik}$ για $1\leq i\leq k$

και

$a_{1n}=f(x_1,x_n)=f(x_n,x_1)>f(x_n,x_k)\geq f(x_j,x_k)=a_{jk}$ για $k\leq j\leq n.$

Έτσι, η μέγιστη τιμή των $a_{ij}$ είναι η $a_{1n}=a_{n1}.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μέγιστο-ελάχιστο

Μέγιστο-ελάχιστο

Re: Μέγιστο-ελάχιστο

Re: Μέγιστο-ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση