J672 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα από τους Reflections, τεύχος 4 του 2024. H ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε και έτσι
μπορώ να το δημοσιεύσω εδώ. Το πρότεινε ο Titu Andreescu.

Έστω ABCD

κυρτό τετράπλευρο τέτοιο ώστε

$\left( AB-BC \right)^{2}+\left( CD-DA \right)^{2}=2\left( AB\cdot AD-AC\cdot BD+BC\cdot CD \right).$

Αποδείξτε ότι οι ισχυρισμοί

(α) Το ABCD

είναι εγγράψιμο

(β) To ABCD

είναι περιγράψιμο

είναι ισοδύναμοι.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 20, 2024 10:47 pm
Σας προτείνω το θέμα από τους Reflections, τεύχος 4 του 2024. H ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε και έτσι
μπορώ να το δημοσιεύσω εδώ. Το πρότεινε ο Titu Andreescu.

Έστω κυρτό τετράπλευρο τέτοιο ώστε

$\left( AB-BC \right)^{2}+\left( CD-DA \right)^{2}=2\left( AB\cdot AD-AC\cdot BD+BC\cdot CD \right).$

Αποδείξτε ότι οι ισχυρισμοί

(α) Το είναι εγγράψιμο

(β) To είναι περιγράψιμο

είναι ισοδύναμοι.

Έστω ότι το ABCD

είναι εγγράψιμο. Τότε από το Θ. Πτολεμαίου είναι $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC.$

Αν αντικαταστήσω στην δοθείσα σχέση τότε καταλήγω στην παρακάτω ισότητα.

$\displaystyle {(AB - BC)^2} + {(AD - CD)^2} = 2(AB - BC)(AD - CD) \Leftrightarrow AB + CD = AD + BC,$

που σημαίνει ότι το τετράπλευρο είναι και περιγράψιμο. Ξεκινώντας τώρα από την τελευταία σχέση και ακολουθώντας

ακριβώς την αντίστροφη διαδικασία, προκύπτει ότι ισχύει το θεώρημα του Πτολεμαίου, δηλαδή η ισοδυναμία που θέλαμε.

J672 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

J672 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J672 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση