Μεγιστοποίηση για νέους

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση για νέους.png (6.23 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές

Στη βάση

του τριγώνου AOC

κινείται σημείο

, από το οποίο φέρουμε το κάθετο προς αυτή ,

τμήμα

. Η παράλληλη από το

προς την πλευρά

, τέμνει την

στο σημείο

.

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου TOSP

. ( Πότε και πόσο ! )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2023 8:19 pm
Μεγιστοποίηση για νέους.pngΣτη βάση του τριγώνου κινείται σημείο , από το οποίο φέρουμε το κάθετο προς αυτή ,

τμήμα . Η παράλληλη από το προς την πλευρά , τέμνει την στο σημείο .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου . ( Πότε και πόσο ! )

Προφανώς, $CA=CO=10, OA=2\sqrt 5$ και με νόμο συνημιτόνου βρίσκω $\displaystyle \cos C = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \sin C = \frac{3}{5}.$

Θέτω PT=PA=x

και είναι $\displaystyle CS = \frac{4}{5}(10 - x),PS = \frac{3}{5}(10 - x).$ και $\displaystyle OS = \frac{{10 + 4x}}{5}$

: ΜΓΝ.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

$\displaystyle (TOSP) = \frac{{x + OS}}{2}SP \Leftrightarrow (TOSP) = \frac{3}{{50}}\left( { - 9{x^2} + 80x + 100} \right)$ που ως τριώνυμο

παρουσιάζει μέγιστο $\boxed{ {(TOSP)_{\max }} = \frac{{50}}{3}}$ όταν $\displaystyle x = \frac{{40}}{9},$ δηλαδή $\boxed{ OS = \frac{{50}}{9}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2023 8:19 pm
Μεγιστοποίηση για νέους.pngΣτη βάση του τριγώνου κινείται σημείο , από το οποίο φέρουμε το κάθετο προς αυτή ,

τμήμα . Η παράλληλη από το προς την πλευρά , τέμνει την στο σημείο .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου . ( Πότε και πόσο ! )

: Μεγιστοποίηση για νέους_Ανάλυση.png (18.73 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές

Φέρνω παράλληλη από το

στην

και τέμνει την

στο

και ας είναι

η προβολή του

στην

.

Το $\vartriangle ALC$ είναι της μορφής $\left( {3,4,5} \right)$ , άρα $AP = PT = FC = x\,\,$ .

Το πράσινο εμβαδόν θα γίνει μέγιστο αν το γκρίζο μηδενιστεί , οπότε $F \equiv S$ .

Τότε:
.

: Μεγιστοποίηση για νέους_Κατασκευή.png (16.38 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές

.
Ας είναι PS = y

. Έτσι : $\left( {OSPT} \right) = \dfrac{{TP + OS}}{2}PS = 5y\left( 1 \right)$ . Επειδή $\vartriangle ALC \approx \vartriangle PSC$ θα ισχύει :

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{4}{3}$ και άρα : ${\left( {OSPT} \right)_{\max }} = 5 \cdot \dfrac{3}{4}x = \dfrac{{15}}{4}x\,\,\,\,\left( 2 \right)$ . Αλλά (Π. Θ. στο $\vartriangle PSC$ )

${x^2} + {y^2} = {\left( {10 - x} \right)^2} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{40}}{9}}$ , οπότε λόγω της $\left( 2 \right)$ : $\boxed{{{\left( {OSPT} \right)}_{\max }} = \dfrac{{15}}{4} \cdot \dfrac{{40}}{9}\,\, = \dfrac{{50}}{3}}$ .

KARKAR · #4

: Μεγιστοποίηση για νέους.png (6.23 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Η αξιοποίηση της ισότητας των AC , OC

δεν ήταν μέσα στις επιδιώξεις του θεματοδότη

Δίνω μια απλή τροποποίηση της άσκησης , με αλλαγή των συντεταγμένων των σημείων A , B

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 10, 2023 7:54 pm
Μεγιστοποίηση για νέους.pngΗ αξιοποίηση της ισότητας των δεν ήταν μέσα στις επιδιώξεις του θεματοδότη

Δίνω μια απλή τροποποίηση της άσκησης , με αλλαγή των συντεταγμένων των σημείων .

: Μεγιστοποίηση για νέους_;Aλλη άσκηση.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

Με ίδια ανάλυση προκύπτει το παραπάνω σχήμα.

Τώρα ${\left( {OSPT} \right)_{\max }} = \dfrac{{9x}}{2}\,\,\left( 1 \right)$ .

Αλλά $\tan \theta = 2$ και άρα $OK = \dfrac{x}{2} \Rightarrow 9 = 2x + \dfrac{x}{2} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{18}}{5}}\,\,\left( 2 \right)$ κ έτσι η $\left( 1 \right)$ δίδει:

$\boxed{{{\left( {OSPT} \right)}_{\max }} = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{{18}}{5} = \dfrac{{162}}{{10}} = \dfrac{{81}}{5}}$

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 10, 2023 7:54 pm
Μεγιστοποίηση για νέους.pngΗ αξιοποίηση της ισότητας των δεν ήταν μέσα στις επιδιώξεις του θεματοδότη

Δίνω μια απλή τροποποίηση της άσκησης , με αλλαγή των συντεταγμένων των σημείων .

Εύκολα διαπιστώνω ότι $\widehat C=45^\circ.$ Θέτω SC=x,

οπότε

κι επειδή $AC=6\sqrt 2,$ προκύπτουν τα υπόλοιπα μήκη στο σχήμα.

: ΜΓΝ.2.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

$\displaystyle TP||BC \Leftrightarrow \frac{{TP}}{9} = \frac{{(6 - x)\sqrt 2 }}{{6\sqrt 2 }} \Leftrightarrow TP = \frac{{3(6 - x)}}{2}$

$\displaystyle (TOSP) = \frac{{TP + 9 - x}}{2}x \Leftrightarrow (TOSP) = \frac{1}{4}\left( { - 5{x^2} + 36x} \right),$ που παρουσιάζει

για $\boxed{x=\frac{18}{5}}$ μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{{(TOSP)_{\max }} = \frac{{81}}{5}}$

Οι γωνίες των $45^\circ$ ήταν στις επιδιώξεις του θεματοδότη;

KARKAR · #7

Γιώργο ναι , ώστε να είναι σχετικά απλή για juniors . Αν θέλουμε γενίκευση ας θεωρήσουμε

τα σημεία C(c,0)

και

, με :

.

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 11, 2023 9:44 am
Γιώργο ναι , ώστε να είναι σχετικά απλή για juniors . Αν θέλουμε γενίκευση ας θεωρήσουμε

τα σημεία και , με : .

Για τη γενίκευση προκύπτει $\boxed{{(TOSP)_{\max }} = \frac{{b{c^2}}}{{2(2c - a)}}}$ όταν $\boxed{x = SC = \frac{{c(c - a)}}{{2c - a}}}$

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η παρατήρηση ότι η τιμή του για την οποία μεγιστοποιείται το είναι ανεξάρτητη της τεταγμένης του σημείου

Μεγιστοποίηση για νέους

Μεγιστοποίηση για νέους

Re: Μεγιστοποίηση για νέους

Re: Μεγιστοποίηση για νέους

Re: Μεγιστοποίηση για νέους

Re: Μεγιστοποίηση για νέους

Re: Μεγιστοποίηση για νέους

Re: Μεγιστοποίηση για νέους

Re: Μεγιστοποίηση για νέους

Μέλη σε σύνδεση