Σημαντικότερο το σχόλιο

KARKAR · #1

: Σημαντικότερο το σχόλιο.png (8.31 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει σταθερές τις πλευρές

και

, αλλά μεταβλητή την

.

Βρείτε την τιμή του

, για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία $\hat{C}$ . Γενικεύστε !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 14, 2026 1:34 pm
Σημαντικότερο το σχόλιο.pngΤο τρίγωνο έχει σταθερές τις πλευρές και , αλλά μεταβλητή την .

Βρείτε την τιμή του , για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία $\hat{C}$ . Γενικεύστε !

.
Αφού

έχουμε $\hat{B} >\hat{C}$ , οπότε

οξεία. Θέλουμε λοιπόν, ισοδύναμα, το ελάχιστο του $\cos C$ .

Είναι

$\cos C = \dfrac {a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac {a^2+24}{14a}\ge \dfrac {2a\sqrt {24}}{14a}= \dfrac {\sqrt {24}}{7}$ με ισότητα όταν $a=\sqrt {24}$ (δεκτή διότι ικανοποιείται η τριγωνική ανισότητα)

Για γενίκευση με b>c

. Είναι

$\cos C = \dfrac {a^2+b^2-c^2}{2ab}\ge \dfrac {2a\sqrt {b^2-c^2}}{2ab}=\dfrac {\sqrt {b^2-c^2}}{b}$ με ισότητα όταν $a=\sqrt {b^2-c^2}$ .

Δεκτή διότι ικανοποιείται η τριγωνική ανισότητα, εδώ αρκεί η a+c>b

, ισοδύναμα $\sqrt {b^2-c^2}> b-c$ , που ισχύει.

To σχόλιο που ζητά ο Θανάσης: Το $a=\sqrt {b^2-c^2}$ που βρήκαμε παραπάνω, γράφεται βέβαια $\boxed {a^2+c^2=b^2}$ , που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την

.

#3

Μία άλλη ιδέα:
Με σταθερά τα σημεία A, B

ψάχνουμε την θέση του

πάνω στον κύκλο (A, AC)

ώστε να μεγιστοποιηθεί η γωνία

του τριγώνου ABC

. Αυτό επιτυγχάνεται όταν ο κύκλος ABC

εφάπτεται στο

στον κύκλο (A, AC)

καθώς διαφορετικά θα υπάρχει σημείο του μεγάλου κύκλου στο εσωτερικό του μικρότερου, οπότε θα έχουμε μεγαλύτερη γωνία για κάποια άλλη θέση της τρίτης κορυφής του τριγώνου. Επομένως η AC θα είναι διάμετρος του μικρού κύκλου, οπότε το τρίγωνο θα είναι ορθογώνιο στο

.

: ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ.png (7.23 KiB) Προβλήθηκε 26 φορές

Σημαντικότερο το σχόλιο

Σημαντικότερο το σχόλιο

Re: Σημαντικότερο το σχόλιο

Re: Σημαντικότερο το σχόλιο

Μέλη σε σύνδεση