Γεωμετρικό γινόμενο

KARKAR · #1

: Γεωμετρικό γινόμενο.png (4.63 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

Το σημείο

κινείται στην μικρή πλευρά

του - $a \times b$ - ορθογωνίου ABCD

. Η

τέμνει την

στο σημείο

. Καθώς το

αυξάνει , αυξάνει και το τμήμα

(γιατί ; ) ενώ το τμήμα

φθίνει (γιατί ; )

Τι γίνεται όμως με το γινόμενο $ST \cdot TB$ ; Ας το βρούμε πρώτα συναρτήσει των a , b , x

και ... βλέπουμε !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 09, 2025 12:55 pm
Γεωμετρικό γινόμενο.pngΤο σημείο κινείται στην μικρή πλευρά του - $a \times b$ - ορθογωνίου . Η τέμνει την

στο σημείο . Καθώς το αυξάνει , αυξάνει και το τμήμα (γιατί ; ) ενώ το τμήμα φθίνει (γιατί ; )

Τι γίνεται όμως με το γινόμενο $ST \cdot TB$ ; Ας το βρούμε πρώτα συναρτήσει των και ... βλέπουμε !

.

: Γεωμ γιν.png (18.46 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές

.
Έστω

. Είναι τότε AT'< AT

. Τώρα, επειδή (για a>b

) η γωνία $\phi > \omega >90$ , σημαίνει ότι η $\phi$ είναι αμβλεία και άρα η $\theta$ οξεία. Συνεπώς BT < BT'

, όπως θέλαμε. Επίσης ST+TB=SB > S'B= S'T'+ T'B> S'T'+ TB

, άρα

, όπως θέλαμε.

Για το γινόμενο, θέτουμε ST=s, TB=t

. Από τα όμοια τρίγωνα AST, BCT

έχουμε $\dfrac {b}{x}= \dfrac {t}{s}$ . Επίσης, από Πυθαγόρειο

$s+t=SB=\sqrt {x^2+a^2}$

Λύνοντας το σύστημα ως προς s,t

θα βρούμε $s=\dfrac {x}{b+x}\sqrt {x^2+a^2}$ και $t=\dfrac {b}{b+x}\sqrt {x^2+a^2}$ . Άρα

$\boxed {st= \dfrac {bx}{(b+x)^2}(x^2+a^2)}$

Γεωμετρικό γινόμενο

Γεωμετρικό γινόμενο

Re: Γεωμετρικό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση