6 ψηφία

[socrates]

Ο Βασίλης διάλεξε έξι διαφορετικά μη μηδενικά ψηφία και έγραψε σε λίστα, από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, όλους τους τριψήφιους αριθμούς που σχηματίζονται με τα ψηφία αυτά. Ο αριθμός βρίσκεται στην η θέση της λίστας του.
Ποιος αριθμός βρίσκεται στην η θέση και ποιος στην η;

https://artofproblemsolving.com/communi ... m_9_digits

[Mihalis_Lambrou]

Ο Βασίλης διάλεξε έξι διαφορετικά μη μηδενικά ψηφία και έγραψε σε λίστα, από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, όλους τους τριψήφιους αριθμούς που σχηματίζονται με τα ψηφία αυτά. Ο αριθμός βρίσκεται στην η θέση της λίστας του.
Ποιος αριθμός βρίσκεται στην η θέση και ποιος στην η;

(Πρέπει να γίνει η διευκρίνιση ότι οι τριψήφιοι γράφονται χωρίς επανάληψη των ψηφίων τους. Π.χ. επιτρέπεται ο αλλά όχι ο . Αλλιώς η άσκηση είναι εσφαλμένη. Όμως προσθέτω ότι η άσκηση είναι προβληματική σε ένα δεύτερο, ουσιαστικό, σημείο.)

Το πρώτο βήμα είναι να βρούμε ποια είναι τα έξι ψηφία. Θα δούμε ότι είναι τα , όπου κάποιο από τα . (η ελευθερία της επιλογής του δεν περιορίζεται καθώς όλα τα υπόλοιπα είναι συμβατά με οποιαδήποτε επιλογή).

'Ηδη ξέρουμε τα ψηφία . Oι τριψήφιοί μας της μορφής είναι βέβαια το πλήθος. Αν στους έξι αριθμούς μας υπήρχε ο , τότε θα είχαμε άλλους της μορφής , σύνολο . Αλλά αυτό δεν γίνεται γιατί ο δεν θα ήταν ο 22-ρος (αφού θα ήταν μετά τον 40-ο). Άρα ο δεν είναι στους έξι αριθμούς μας.

Γράφουμε τώρα τους πιθανούς αριθμούς της μορφής (αλλά χωρίς 2). Είναι διαδοχικά οι . Αφού ο είναι εδώ ο τέταρτος αλλά ξέρουμε ότι είναι 22-ρος συνολικά, σημαίνει ότι από τους υπάρχει μόνο ο ένας. Δηλαδή μεταξύ των υπάρχει μόνον ένας στην λίστα μας των έξι αριθμών. Ας τον ονομάσουμε . Προσθέτοντας τώρα και τους άλλους δύο που μας λείπουν, καταλήγουμε ότι οι έξι αριθμοί μας είναι οι .

Ουσιαστικά τελειώσαμε.

Ο 60-ος είναι ο τελευταίος της εικοσάδας της μορφής , δηλαδή ο . Πέρα από αυτό δεν μπορούμε να πούμε αν είναι ο ή ή αφού οι επιλογές αυτές είναι όλες επιτρεπτές. (Σχολιάζω ότι αν η άσκηση ρώταγε ποιος είναι ο 61-ος, δεν θα υπήρχε αμφισημία. Θα ήταν ο .)

Η επόμενη 20-δα είναι η (φτάνουμε μέχρι τον 80-στο). Μετά, για τον 93-ο, θέλουμε τον 13-ο από εκεί. Διαδοχικά είναι οι

. Δηλαδή η απάντησή μας είναι .

Θα ήθελα να ρωτήσω αν υπάρχει επίσημη λύση στον διαγωνισμό όπου προτάθηκε η άσκηση ή μήπως εδώ μεταφέρθηκε εσφαλμένα.

[Mihalis_Lambrou]

https://artofproblemsolving.com/communi ... m_9_digits

Τώρα που κοιτάω την παραπομπή από την οποία αντλήθηκε η άσκηση, που είναι από κάποιον Διαγωνισμό και την οποία παραθέτει ο Parmenides (γνωστός μας για την πλούσια ιστοσελίδα του με άπειρα παλιά ελληνικά βιβλία Μαθηματικών), η διατύπωση είναι ελαφρυά διαφορετική. Για τον 60-ο ζητά "find all possibilities". Με γνώμονα αυτό, απάντησα ήδη στο προηγούμενο ποστ βρίσκοντας τους . 'Ολα καλά, λοιπόν.